分母にルート同士の和がある総和
分母にルート同士の和がある総和
次の総和を求めよ。
\[ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=? \]
次の総和を求めよ。
\[ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=? \]
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}} & =\sum_{k=5}^{29}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\\
& =\sum_{k=5}^{29}\frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-\left(k+1\right)}\\
& =-\sum_{k=5}^{29}\left(\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\right)\\
& =\sqrt{30}-\sqrt{5}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 分母にルート同士の和がある総和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/dqw0wzqn/ |
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2項係数の2重和の問題
\[
\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\sum_{j=k}^{n}C\left(n+1,j+1\right)=?
\]
分母の形に気付くかな
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=?
\]
分母に階乗の和を含む総和
\[
\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots+\frac{100}{98!+99!+100!}=?
\]
偶数ゼータ関数と円周率を含む交代級数
\[
\frac{\zeta\left(2\right)}{\pi^{2}}-\frac{\zeta\left(4\right)}{\pi^{4}}+\frac{\zeta\left(6\right)}{\pi^{6}}-\frac{\zeta\left(8\right)}{\pi^{8}}+\cdots=?
\]