固有多項式と最小多項式の定義

by nomura · 2025年12月16日

固有多項式と最小多項式の定義

(1)固有多項式

$n$次正方行列$A$があるとき、
\[ p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A\right) \] を$A$の固有多項式という。

(2)最小多項式

$n$次正方行列$A$があるとき、多項式$q_{A}\left(\lambda\right)$の最高次数の係数が1で$q_{A}\left(A\right)=O_{n}$となるもので次数が最小となる多項式$q_{A}\left(\lambda\right)$を$A$の最小多項式という。

固有多項式は$p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(A-\lambda I\right)$で定義することもある。

(1)

\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right) \] とすると、固有多項式は
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-1 & 0\\ 0 & \lambda-2 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-2\right) \end{align*} となる。
次数が1では$q_{A}\left(A\right)\ne O_{2}$なので次数が2である$\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-2\right)$は次数が最小となり、また最高次数の係数が1であり、ケーリー・ハミルトンの定理より$q_{A}\left(A\right)=\left(A-1\right)\left(A-2\right)=p_{A}\left(A\right)=0$となるので、$q_{A}\left(\lambda\right)=\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-2\right)$は最小多項式となる。

(2)

\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] とすると、固有多項式は
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-1 & 0\\ 0 & \lambda-1 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)^{2} \end{align*} となる。
次数が1では$q_{A}\left(A\right)=A-1I=O_{2}$なので$q_{A}\left(\lambda\right)=\left(\lambda-1\right)$が最小多項式となる。

(3)

\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \] とすると、固有多項式は
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{ccc} \lambda-1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda-1 & 0\\ 0 & 0 & \lambda-2 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)^{2}\left(\lambda-2\right) \end{align*} となる。
次数が1では$q_{A}\left(A\right)\ne O_{n}$なので、最小多項式は$\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-2\right),\left(\lambda-1\right)^{2}\left(\lambda-2\right)$のどちらかになる。
\begin{align*} \left(A-1\right)\left(A-2\right) & =\left(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)\left(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)-2\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =O_{3} \end{align*} となるので最小多項式は$q_{A}\left(\lambda\right)=\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-2\right)$となる

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タイトル	固有多項式と最小多項式の定義
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