同次連立1次方程式の定義と性質
同次連立1次方程式の定義と性質
同次連立1次方程式の定義
次のような連立1次方程式
\begin{align*} \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \cdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{cases} & \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{2} \end{array}\right)\\ & \Leftrightarrow A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \end{align*} において、\(\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol{0}\)のときを非同次形といい、\(\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\)のとき、つまり\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の形の連立1次方程式を同次形という。
同次連立1次方程式の性質
\(A\)を\(m\times n\)行列とすると、同次連立1次方程式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解は次のようになる。
逆は一般的に成り立たない。
同次連立1次方程式の定義
次のような連立1次方程式
\begin{align*} \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \cdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{cases} & \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{2} \end{array}\right)\\ & \Leftrightarrow A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \end{align*} において、\(\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol{0}\)のときを非同次形といい、\(\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\)のとき、つまり\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の形の連立1次方程式を同次形という。
同次連立1次方程式の性質
\(A\)を\(m\times n\)行列とすると、同次連立1次方程式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解は次のようになる。
(1)
常に自明な解\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)を解にもつ。(2)
\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解の集合\(\left\{ \boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n};A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \)は\(\mathbb{C}^{n}\)の部分空間となりこの空間の次元は\(n-\rank A\)となる。(3)
\(\rank A=n\)であることと、自明な解\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)のみをもつことは同値である。(4)
\(m<n\)ならば、自明でない解をもつ。逆は一般的に成り立たない。
同次連立1次方程式では係数行列のランクと拡大係数行列のランクが等しい\(\rank\left(A\right)=\rank\left(A,\boldsymbol{0}\right)\)ので解は存在します。
(1)
\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)のとき、\(A\boldsymbol{x}=A\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}\)となるので、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)は解になる。(2)
\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解の集合は\(\ker A=\left\{ \boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n};A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \)であり、\(\ker A\)は\(\mathbb{C}^{n}\)の部分空間である。また、\(A\)は\(m\times n\)行列なので、線形写像\(A:\mathbb{C}^{n}\rightarrow\mathbb{C}^{m}\)となり、次元定理より\(\dim\ker A=\dim\mathbb{C}^{n}-\dim\im A=n-\rank A\)となる。
従って、題意は成り立つ。
(3)
連立1次方程式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)が唯1つの解\(\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}\)をもつことと、\(\rank\left(A\right)=\rank\left(A,\boldsymbol{b}\right)=n\)となることは同値であるので、\(\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\)のときを考えればよい。(3)-2
\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)が自明な解\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)のみをもつことと、\(\ker A=\left\{ \boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n};A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} =\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)は同値であり、\begin{align*} \ker A=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} & \Leftrightarrow\dim\ker A=0\\ & \Leftrightarrow n=\dim\im A\cmt{\because\dim\ker A=n-\dim\im A}\\ & \Leftrightarrow n=\rank A \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(4)
\(\Rightarrow\)
\(m<n\)のとき、\(\rank\left(A\right)\leq m<n\)となり、\(\rank\left(A\right)\ne n\)となるので自明でない解をもつ。逆は一般的に成り立たない。
反例で示す。\(A\)を\(1\times1\)行列\(A=\left(0\right)\)とすると、解は任意の\(\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}\)となり自明でない解をもつが、\(m=1,n=1\)なので\(m<n\)が成り立っていない。
従って、逆は一般的に成り立たない。
(4)-2
\(\Rightarrow\)のみ示す。\(m<n\)のとき、\(\dim\ker A=n-\rank A\geq n-m>0\)となるので、自明でない解、つまり\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)以外の解をもつ。
ページ情報
| タイトル | 同次連立1次方程式の定義と性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/d5vn39s9/ |
| SNSボタン |
連立1次方程式と拡大係数行列の定義と性質
\[
\left(A,\boldsymbol{b}\right)=\left(\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m}
\end{array}\right)
\]
(*)階数の性質
\[
\rank\left(AB\right)\leq\min\left(\rank\left(A\right),\rank\left(B\right)\right)
\]
行列の簡約化と階数(ランク)の定義
\[
\rank\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=2
\]
主成分・階段行列・簡約行列の定義
\[
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]