ベクトルの基底に関する成分
ベクトルの基底に関する成分
体\(K\)上の\(n\)次元ベクトル空間\(V\)の基底を\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)とする。
このとき\(V\)の任意のベクトル\(\boldsymbol{v}\in V\)は\(a_{k}\in K\)として、
\begin{align*} \boldsymbol{v} & =\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{v}_{k}\\ & =\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right) \end{align*} と一意的に表される。
この\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)を基底\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)に関する\(\boldsymbol{v}\)の成分という。
体\(K\)上の\(n\)次元ベクトル空間\(V\)の基底を\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)とする。
このとき\(V\)の任意のベクトル\(\boldsymbol{v}\in V\)は\(a_{k}\in K\)として、
\begin{align*} \boldsymbol{v} & =\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{v}_{k}\\ & =\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right) \end{align*} と一意的に表される。
この\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)を基底\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)に関する\(\boldsymbol{v}\)の成分という。
一意的であることの証明
\[ \boldsymbol{v}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{v}_{k}=\sum_{k=1}^{n}b_{k}\boldsymbol{v}_{k} \] と2通りで表されると仮定する。
そうすると、
\[ \sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-b_{k}\right)\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0} \] となり\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)は基底なので1次独立になるので\(a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\cdots=a_{n}-b_{n}=0\)となり、\(a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},\cdots,a_{n}=b_{n}\)となる。
これより、2通りで表されるという仮定に矛盾。
従って、基底に関するベクトルの成分は一意的に決まる。
\[ \boldsymbol{v}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{v}_{k}=\sum_{k=1}^{n}b_{k}\boldsymbol{v}_{k} \] と2通りで表されると仮定する。
そうすると、
\[ \sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-b_{k}\right)\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0} \] となり\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)は基底なので1次独立になるので\(a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\cdots=a_{n}-b_{n}=0\)となり、\(a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},\cdots,a_{n}=b_{n}\)となる。
これより、2通りで表されるという仮定に矛盾。
従って、基底に関するベクトルの成分は一意的に決まる。
ページ情報
| タイトル | ベクトルの基底に関する成分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/d5bfwh9c/ |
| SNSボタン |
ベクトル空間の基底の定義
ベクトル空間での有限次元と無限次元の定義
和空間・積集合・部分集合から生成・像・逆像と部分空間
部分空間の和空間・積集合・像・逆像は部分空間になる。
生成される部分空間
\[
W=\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right\rangle _{K}
\]