対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\(z\in\mathbb{C}\)とする。
\(\Im\left(z\right)\)は虚部。
\(z\in\mathbb{C}\)とする。
(1)
\[ z=\exp\left(\Log\left(z\right)\right) \](2)
\[ \Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right) \](3)
\[ \left|\Re\left(z\right)\right|=\Log\left|\exp\left(z\right)\right| \]-
\(\Re\left(z\right)\)は実部。\(\Im\left(z\right)\)は虚部。
\(\Log\left(\exp\left(2\pi i\right)\right)=\Log\left(1\right)=0\ne2\pi i\)なので、
\(z=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)\)は一般的に成り立たない。
\(z=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)\)は一般的に成り立たない。
(1)
指数関数の定義\(\alpha^{\beta}=e^{\beta\Log\alpha}\)より、\begin{align*} z & =z^{1}\\ & =e^{1\Log z}\\ & =\exp\left(\Log\left(z\right)\right) \end{align*} となり題意は成り立つ。
(2)
\begin{align*} \Log\left(\exp\left(z\right)\right) & =\Log\left(\exp\left(\Re\left(z\right)+\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\Log\left(\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\ln\left|\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right|+i\Arg\left(\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\Re\left(z\right)+i\Arg\left(\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \Log\left|\exp\left(z\right)\right| & =\Log\left|\exp\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right|\\ & =\Log\left|\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(i\Im\left(z\right)\right)\right|\\ & =\Log\left|\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\right|\\ & =\Log\exp\Re\left(z\right)\\ & =\Re\left(z\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い |
| URL | https://www.nomuramath.com/c41hiuwq/ |
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冪乗の性質
\[
\pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma}
\]
指数関数の実部と虚部
\[
\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}
\]
複素数の実部と虚部
\[
\Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right)
\]
偏角・対数と符号関数の関係
\[
\Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)
\]