(1)

\(2\leq n\)とする。
\(O\)の小行列\(M_{i,j}\)は全ての要素が0なので、\(\det\left(M_{i,j}\right)=0\)となる。
これより、
\begin{align*} \left(\adj A\right)_{i,j} & =\left(-1\right)^{i+j}\det\left(M_{j,i}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \adj\left(O\right)=O \] となる。
\(n=1\)のときは定義より、\(\adj\left(0\right)=O\)なので成り立つ。
従って任意の\(n\in\mathbb{N}\)について与式は成り立つ。

(2)

\(2\leq n\)として\(i,j\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)とする。
\(i\ne j\)のとき、
\(I\)の小行列\(M_{i,j}\)は\(i\ne j\)なので\(i\)行目と\(j\)列目が消えて元の\(I\)より2つの1が消え、\(j\)行目と\(i\)列目は全てが0になる。
従って、\(\det\left(M_{i,j}\right)=\delta_{i,j}\)となる。
\(i=j\)のとき、
\(I\)の小行列\(M_{i,j}\)は\(i=j\)なので\(i\)行目と\(i\)列目が消えて元の\(I\)より1つの1が消えるだけで、小行列は元の行列よりサイズが1つ小さくなるだけで単位行列のままである。
従って、\(\det\left(M_{i,j}\right)=\delta_{i,j}\)となる。
これより、
\begin{align*} \left(\adj A\right)_{i,j} & =\left(-1\right)^{i+j}\det\left(M_{j,i}\right)\\ & =\left(-1\right)^{i+j}\delta_{i,j}\\ & =\delta_{i,j} \end{align*} となるので、\(\adj A=I\)となる。
\(n=1\)のときは定義より、\(\adj\left(I\right)=I\)となる。
従って、任意の\(n\in\mathbb{N}\)について与式は成り立つ。

(3)

\(A\)が\(n\)次正方行列なので\(A\)の小行列\(M_{i,j}\)は\(n-1\)次正方行列となる。
\(\left(cM\right)_{i,j}\)を行列\(cA\)の小行列とすると、
\begin{align*} \left(\adj\left(cA\right)\right)_{i,j} & =\left(-1\right)^{i+j}\det\left(\left(cM\right)_{j,i}\right)\\ & =c^{n-1}\left(\left(-1\right)^{i+j}\det\left(M_{j,i}\right)\right) \end{align*} となる。
従って与式は成り立つ。

(4)

\begin{align*} \adj\left(AB\right) & =\left(\det\left(AB\right)\right)^{-1}\left(\det A\right)\left(\det B\right)\adj\left(AB\right)\\ & =\left(\det A\right)\left(\det B\right)\left(\det\left(AB\right)\right)^{-1}\adj\left(AB\right)\\ & =\left(\det A\right)\left(\det B\right)\left(AB\right)^{-1}\\ & =\left(\det A\right)\left(\adj B\right)B\left(AB\right)^{-1}\\ & =\left(\adj B\right)\left(\det A\right)B\left(AB\right)^{-1}\\ & =\left(\adj B\right)\left(\adj A\right)AB\left(AB\right)^{-1}\\ & =\left(\adj B\right)\left(\adj A\right) \end{align*}

(5)

\(k=0\)のとき明らかに成り立つ。
\(k=n\)のとき成り立つと仮定する。
このとき、
\begin{align*} \adj\left(A^{n+1}\right) & =\adj\left(AA^{n}\right)\\ & =\adj\left(A^{n}\right)\adj\left(A\right)\cmt{\because\adj\left(AB\right)=\adj\left(B\right)\adj\left(A\right)}\\ & =\left(\adj A\right)^{n}\left(\adj A\right)\\ & =\left(\adj A\right)^{n+1} \end{align*} となるので、\(k=n+1\)でも成り立つ。
故に数学的帰納法より、任意の\(n\in\mathbb{N}_{0}\)に対して成り立つ。

\(\det\left(A\right)\ne0\)のとき

\(\det\left(A\right)\ne0\)のとき、\(\adj\left(A^{-1}\right)=\left(\adj A\right)^{-1}\)が成り立つ。
これより、\(k=-1\)で成り立つ。
\(k=n\)のとき成り立つと仮定する。
このとき、
\begin{align*} \adj\left(A^{n-1}\right) & =\adj\left(A^{-1}A^{n}\right)\\ & =\adj\left(A^{n}\right)\adj\left(A^{-1}\right)\\ & =\left(\adj A\right)^{n}\left(\adj A\right)^{-1}\\ & =\left(\adj A\right)^{n-1} \end{align*} となるので、\(k=n-1\)でも成り立つ。
故に数学的帰納法より、任意の\(n\in\mathbb{N}^{-}\)に対して成り立つ。
また、任意の\(n\in\mathbb{N}_{0}\)に対しても成り立つので任意の\(n\in\mathbb{Z}\)に対して成り立つ。

(6)

\(A\)の小行列を\(M_{i,j}\)として行列\(A^{T}\)の小行列を\(\left(M^{T}\right)_{i,j}\)とすると、
\begin{align*} \left(\adj\left(A^{T}\right)\right)_{i,j} & =\left(-1\right)^{i+j}\det\left(\left(M^{T}\right)_{j,i}\right)\\ & =\left(-1\right)^{i+j}\det\left(M_{i,j}\right)\\ & =\left(\adj A\right)_{j,i} \end{align*} となるので、\(\adj\left(A^{T}\right)=\left(\adj A\right)^{T}\)となる。
従って与式は成り立つ。

(7)

\(A\)の小行列を\(M_{i,j}\)として行列\(\overline{A}\)の小行列を\(\left(\overline{M}\right)_{i,j}\)とすると、
\begin{align*} \left(\adj\overline{A}\right)_{i,j} & =\left(-1\right)^{i+j}\det\left(\left(\overline{M}\right)_{i,j}\right)\\ & =\left(-1\right)^{i+j}\overline{\det\left(M_{j,i}\right)}\\ & =\overline{\left(-1\right)^{i+j}\det\left(M_{j,i}\right)}\\ & =\left(\overline{\adj\left(A\right)}\right)_{i,j} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(8)

\(A\)の小行列を\(M_{i,j}\)として行列\(A^{*}\)の小行列を\(\left(M^{*}\right)_{i,j}\)をとすると、
\begin{align*} \left(\adj A^{*}\right)_{i,j} & =\left(\adj\overline{A^{T}}\right)_{i,j}\\ & =\left(\overline{\adj A^{T}}\right)_{i,j}\\ & =\left(\overline{\left(\adj A\right)^{T}}\right)_{i,j}\\ & =\left(\left(\adj A\right)^{*}\right)_{i,j} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(9)

\(\det\left(A\right)\ne0\)のとき、
\[ A^{-1}=\frac{\adj\left(A\right)}{\det\left(A\right)} \] なので、\(\adj\left(A\right)=\det\left(A\right)A^{-1}\)となる。

(10)

\(\det\left(A\right)\ne0\)のとき、\(\det\left(\adj A\right)=\left(\det A\right)^{n-1}\ne0\)となるので、\(\adj A\)は正則となる。
従って、
\[ \adj\left(A\right)=\det\left(A\right)A^{-1} \] より、
\[ \left(\adj A\right)^{-1}=\left(\det A\right)^{-1}A \] となるので題意は成り立つ。

(11)

\(\det\left(A\right)\ne0\)のとき、
\begin{align*} \adj\left(A^{-1}\right) & =\det\left(A^{-1}\right)\left(A^{-1}\right)^{-1}\cmt{\because\det\left(A\right)\ne0\Rightarrow\adj\left(A\right)=\det\left(A\right)A^{-1}}\\ & =\left(\det A\right)^{-1}A\cmt{\because\det\left(A^{-1}\right)=\left(\det A\right)^{-1}}\\ & =\left(\adj A\right)^{-1} \end{align*}

(12)

\begin{align*} A\adj\left(A+B\right)B & =\left(A+B-B\right)\adj\left(A+B\right)B\\ & =\left(A+B\right)\adj\left(A+B\right)B-B\adj\left(A+B\right)B\\ & =\det\left(A+B\right)B-B\adj\left(A+B\right)B\\ & =B\det\left(A+B\right)-B\adj\left(A+B\right)B\\ & =B\adj\left(A+B\right)\left(A+B\right)-B\adj\left(A+B\right)B\\ & =B\adj\left(A+B\right)A \end{align*}

(13)

\(\rank\left(A\right)\leq n-2\)なので行列\(A\)の行ベクトルで独立なベクトルは\(n-2\)個しかない。
ここで、余因子行列を作るためにどの行を選んでも小行列中の行ベクトルが全て独立になることは不可能なので小行列の全ての行ベクトルは\(\boldsymbol{0}\)になる。
従って\(\adj\left(A\right)=O\)となり題意は成り立つ。