(1)

\(\Rightarrow\)

\(j\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)として、ベクトル\(\boldsymbol{a}_{j}\)が他のベクトルの1次結合で表されるとすると、ある\(\left(c_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,j-1,j+1,\cdots,m\right\} }\subseteq K\)が存在し、
\[ \boldsymbol{a}_{j}=c_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c_{j-1}\boldsymbol{a}_{j-1}+c_{j+1}\boldsymbol{a}_{j+1}+\cdots+c_{m}\boldsymbol{a}_{m} \] となる。
これを移項すると、
\[ c_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c_{j-1}\boldsymbol{a}_{j-1}-\boldsymbol{a}_{j}+c_{j+1}\boldsymbol{a}_{j+1}+\cdots+c_{m}\boldsymbol{a}_{m}=0 \] となり、\(\boldsymbol{a}_{j}\)の係数が\(-1\)で0ではないので、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)は1次従属となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)が1次従属であるとき、ある\(\left(c_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\subseteq K,j\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)が存在し、\(c_{j}\ne0\)かつ
\[ c_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c_{j}\boldsymbol{a}_{j}\cdots+c_{m}\boldsymbol{a}_{m}=0 \] が成り立つ。
この式で\(c_{j}\boldsymbol{a}_{j}\)を移項すると、
\[ -c_{j}\boldsymbol{a}_{j}=c_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c_{j-1}\boldsymbol{a}_{j-1}+c_{j+1}\boldsymbol{a}_{j+1}+\cdots+c_{m}\boldsymbol{a}_{m} \] となり、\(c_{j}\ne0\)なので、両辺を\(c_{j}\)で割ると、
\[ \boldsymbol{a}_{j}=-\frac{c_{1}}{c_{j}}\boldsymbol{a}_{1}-\frac{c_{2}}{c_{j}}\boldsymbol{a}_{2}-\cdots-\frac{c_{j-1}}{c_{j}}\boldsymbol{a}_{j-1}-\frac{c_{j+1}}{c_{j}}\boldsymbol{a}_{j+1}-\cdots-\frac{c_{m}}{c_{j}}\boldsymbol{a}_{m} \] となるので、\(\boldsymbol{a}_{j}\)は\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{j-1},\boldsymbol{a}_{j+1},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)の1次結合で表される。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

(1)の対偶をとればよい。

(3)

\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)が1次従属であるとき、ある\(\left(c_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\subseteq K,j\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)が存在し、\(c_{j}\ne0\)かつ
\[ c_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c_{m}\boldsymbol{a}_{m}=0 \] が成り立つ。
このとき、\(c_{j}\ne0\)かつ
\begin{align*} c_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c_{m}\boldsymbol{a}_{m}+0\boldsymbol{a}_{m+1} & =c_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c_{m}\boldsymbol{a}_{m}\\ & =0 \end{align*} が成り立つ。
従って、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m+1}\)は1次従属となる。

(4)

(3)の対偶をとればよい。

(5)

\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m+1}\)が1次従属であるとき、ある\(\left(c_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m+1\right\} }\subseteq K,j\in\left\{ 1,2,\cdots,m+1\right\} \)が存在し、\(c_{j}\ne0\)かつ
\[ c_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c_{m}\boldsymbol{a}_{m}+c_{m+1}\boldsymbol{a}_{m+1}=0 \] が成り立つ。
ここで、\(c_{m+1}=0\)と仮定すると、\(j\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)で\(c_{j}\ne0\text{かつ}\)\(c_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c_{m}\boldsymbol{a}_{m}=0\)となり、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)が1次独立という仮定に矛盾するので、\(c_{m+1}\ne0\)となる。
このとき、移項すると、
\[ -c_{m+1}\boldsymbol{a}_{m+1}=c_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c_{m}\boldsymbol{a}_{m} \] となり、\(c_{m+1}\ne0\)なので両辺\(c_{m+1}\)で割ると、
\[ \boldsymbol{a}_{m+1}=-\frac{c_{1}}{c_{m+1}}\boldsymbol{a}_{1}-\frac{c_{2}}{c_{m+1}}\boldsymbol{a}_{2}-\cdots-\frac{c_{m}}{c_{m+1}}\boldsymbol{a}_{m} \] となる。
従って、\(\boldsymbol{a}_{m+1}\)は\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)の1次結合で表される。
次に一意性を示す。
ある\(\left(c'_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\subseteq K,j\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)が存在し、
\begin{align*} c_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c_{m}\boldsymbol{a}_{m} & =\boldsymbol{a}_{m+1}\\ & =c'_{1}\boldsymbol{a}_{1}+c'_{2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+c'_{m}\boldsymbol{a}_{m} \end{align*} と\(\boldsymbol{a}_{m+1}\)の表し方が2通りあるとする。
この式で移項すると、
\[ \left(c_{1}-c'_{1}\right)\boldsymbol{a}_{1}+\left(c_{2}-c'_{2}\right)\boldsymbol{a}_{2}+\cdots+\left(c_{m}-c'_{m}\right)\boldsymbol{a}_{m}=0 \] となり、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)は1次独立なので、この式が成り立つには\(c_{1}-c'_{1}=c_{2}-c'_{2}=\cdots=c_{m}-c'_{m}=0\)とならなければいけない。
従って、\(c_{1}=c'_{1},c_{2}=c'_{2},\cdots,c_{m}=c'_{m}\)となるので、\(\boldsymbol{a}_{m+1}\)の表し方は一意的になる。
これらより題意は成り立つ。

(6)

\(C\)を\(m\times n\)行列として、
\[ \left(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\right)C \] となる。
このとき、仮定より\(m<n\)なので\(C\)の列ベクトルは1次従属となり、ある\(\left(c_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq\mathbb{C},i\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)が存在し、\(c_{i}\ne0\)かつ
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\left(C\right)_{jk}=0 \] となる。
ここで、\(\boldsymbol{c}=\left(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\right)^{*}\)とおくと、\(c_{i}\ne0\)なので、\(\boldsymbol{c}\ne0\)となり、\(C\boldsymbol{c}=0\)となる。
これより、
\begin{align*} c_{1}\boldsymbol{b}_{1}+c_{2}\boldsymbol{b}_{2}+\cdots+c_{n}\boldsymbol{b}_{n} & =\left(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\right)\boldsymbol{c}\\ & =\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\right)C\boldsymbol{c}\\ & =\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\right)\boldsymbol{0}\\ & =0 \end{align*} となり、\(c_{i}\ne0\)なので、\(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\)は1次従属となる。
従って題意は成り立つ。

(7)

対偶で示す。
\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)のいずれかが零ベクトル\(\boldsymbol{0}_{V}\)ならば\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)が1次従属であることを示せばよい。\
\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)のいずれかが零ベクトル\(\boldsymbol{0}_{V}\)であるとき、\(\boldsymbol{a}_{m}=\boldsymbol{0}_{V}\)とする。
そうすると、体\(K\)は\(K\ne\left\{ 0_{K}\right\} \)であるので、\(c_{m}\in K\setminus\left\{ 0_{K}\right\} \)を1つ選ぶことができ、\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{m-1}=0_{K}\)とすると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{m}c_{k}\boldsymbol{a}_{k} & =\sum_{k=0}^{m-1}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}+c_{m}\boldsymbol{a}_{m}\\ & =\sum_{k=0}^{m-1}0_{K}\boldsymbol{a}_{k}+c_{m}\boldsymbol{0}_{V}\\ & =0 \end{align*} となる。
これより、\(\left(c_{1},c_{2},\cdots,c_{m-1},c_{m}\right)=\left(0,0,\cdots,0,c_{m}\right)\ne\left(0,0,\cdots,0,0\right)\)であるので、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\)は1次従属となる。
従って対偶が示された。
故に題意は成り立つ。