3角形\(ABC\)を反時計回りにとり、角度は符号を考える。

(1)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \angle CPB & =\pi-\left(\angle BCP+\angle PBC\right)\\ & =\pi-\frac{1}{2}\left(\angle BCA+\angle ABC\right)\\ & =\pi-\frac{1}{2}\left(\pi-CAB\right)\\ & \frac{\pi+\angle CAB}{2} \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

3点\(C,P,B\)を通る円を引き、弧\(CB\)内に\(P\)とは異なる\(P'\)をとると円周角の定理より\(\angle CPB=\angle CP'B\)であるが、\(P'\)は\(P\)と異なる点なので\(\angle ABC,\angle BCA\)の内角の2等分線の交点ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(2)

\begin{align*} \angle CPB & =\pi-\left(\angle PBC+\angle BCP\right)\\ & =\pi-\frac{1}{2}\angle ABC-\left(\pi-\angle ACP\right)\\ & =\pi-\frac{1}{2}\angle ABC-\left(\pi-\frac{\pi-\angle BCA}{2}\right)\\ & =\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\angle ABC-\frac{\angle BCA}{2}\\ & =\frac{1}{2}\left(\pi-\left(\angle ABC+\angle BCA\right)\right)\\ & =\frac{\angle CAB}{2} \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

3点\(C,P,B\)を通る円を引き、弧\(CB\)内に\(P\)とは異なる\(P'\)をとると円周角の定理より\(\angle CPB=\angle CP'B\)であるが、\(P'\)は\(P\)と異なる点なので\(\angle ABC\)の内角と\(\angle BCA\)の外角の2等分線の交点ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(3)

\begin{align*} \angle CPB & =\pi+\angle PCB+\angle CBP\\ & =\pi+\frac{\pi-\angle BCA}{2}+\frac{\pi-\angle ABC}{2}\\ & =2\pi-\frac{\angle BCA+\angle ABC}{2}\\ & =2\pi-\frac{\pi-\angle CAB}{2}\\ & =\frac{\angle CAB-\pi}{2} \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

3点\(C,P,B\)を通る円を引き、弧\(CB\)内に\(P\)とは異なる\(P'\)をとると円周角の定理より\(\angle CPB=\angle CP'B\)であるが、\(P'\)は\(P\)と異なる点なので\(\angle ABC,\angle BCA\)の外角の2等分線の交点ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。