(*)行列の相似の性質
行列の相似の性質
相似\(A\sim B\)について次が成り立つ。
\[ A^{n}\sim B^{n} \] が成り立つ。
相似\(A\sim B\)について次が成り立つ。
(1)
行列\(A,B\)が相似\(A\sim B\)のとき、任意の\(n\in\mathbb{N}_{0}\)に対し、\[ A^{n}\sim B^{n} \] が成り立つ。
(2)
行列\(A,B\)が相似\(A\sim B\)のとき、\(A\)と\(B\)の単因子は一致する。その他次が成り立つ。
何故なら任意の正方行列はある正則行列によって3角行列にできるからである。
何故なら正規行列であることと、ユニタリ行列で対角化できることは同値であるからである。
\[ \rank\left(A\right)=\rank\left(B\right) \] が成り立つ。
\[ \det\left(A\right)=\det\left(B\right) \] が成り立つ。
\[ \tr\left(A\right)=\tr\left(B\right) \] が成り立つ。
(1)
任意の正方行列はある3角行列と相似である。何故なら任意の正方行列はある正則行列によって3角行列にできるからである。
(2)
任意の正規行列はある対角行列と相似である。何故なら正規行列であることと、ユニタリ行列で対角化できることは同値であるからである。
(3)
行列\(A,B\)が相似\(A\sim B\)のとき、\[ \rank\left(A\right)=\rank\left(B\right) \] が成り立つ。
(4)
行列\(A,B\)が相似\(A\sim B\)のとき、\[ \det\left(A\right)=\det\left(B\right) \] が成り立つ。
(5)
行列\(A,B\)が相似\(A\sim B\)のとき、\[ \tr\left(A\right)=\tr\left(B\right) \] が成り立つ。
(6)
行列\(A,B\)が相似\(A\sim B\)のとき、\(A,B\)の固有値は等しい。(7)
行列\(A,B\)が相似\(A\sim B\)のとき、\(A\)と\(B\)の固有多項式は一致する。(8)
行列\(A,B\)が相似\(A\sim B\)のとき、\(A\)と\(B\)の最小多項式は一致する。(1)
\(A\sim B\)より、ある正則行列\(P\)が存在し\(B=P^{-1}AP\)となる。従って、
\begin{align*} B^{n} & =\left(P^{-1}AP\right)^{n}\\ & =P^{-1}A^{n}P \end{align*} となるので\(A\)と\(B\)は相似になり題意は成り立つ。
(2)
(略)
ページ情報
| タイトル | (*)行列の相似の性質 |
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行列の相似は同値関係
トレースの性質
\[
\tr\left(AB\right)=\tr\left(BA\right)
\]
逆行列の性質
\[
\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\]
正則行列の性質
\[
\det\left(A\right)\ne0\Leftrightarrow\ker\left(A\right)=\boldsymbol{0}
\]