ベクトル空間の線形同型は同値関係

by nomura · 2026年3月25日

ベクトル空間の線形同型は同値関係
ベクトル空間の線形同型$\simeq$は同値関係を満たす。
すなわち体$K$上のベクトル空間$U,V,W$があるとき、次を満たす。

(a)反射律

\[ U\simeq U \]

(b)対称律

\[ U\simeq V\Rightarrow V\simeq U \]

(c)推移律

\[ U\simeq V\land V\simeq W\Rightarrow U\simeq W \]

反射律

恒等写像$I:U\rightarrow U;\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}$とすれば恒等写像は全単射かつ線形写像なので線形同型写像となるので反射律は成り立つ。

対称律

$U\simeq V$のとき、ある線形同型写像$f:U\rightarrow V$が存在し、このとき逆写像$f^{\bullet}$も線形同型写像であるので線形同型写像$f^{\bullet}:V\rightarrow U$が存在し、$V\simeq U$となる。
これより、対称律が成り立つ。

推移律

$U\sim V\land V\simeq W$のとき、ある線形同型写像$f:U\rightarrow V,g:V\rightarrow W$が存在する。
線形同型写像は全単射かつ線形写像であり、全単射同士の合成写像は全単射で線形写像同士の合成写像も線形写像になるので、線形同型写像同士の合成写像は線形同型写像となる。
これより、写像$g\circ f:U\rightarrow W$は線形同型写像となり$U\simeq W$となる。
従って推移律が成り立つ。