三角関数と双曲線関数の半角公式
三角関数の半角公式
(1)
\[ \sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} \](2)
\[ \cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} \](3)
\[ \tan^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \](1)
２倍角の公式\[ \cos2\frac{x}{2}=1-2\sin^{2}\frac{x}{2} \] より、
\[ \sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} \]
(2)
２倍角の公式\[ \cos2\frac{x}{2}=2\cos^{2}\frac{x}{2}-1 \] より、
\[ \cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} \]
(3)
\begin{align*} \tan^{2}\frac{x}{2} & =\frac{\sin^{2}\frac{x}{2}}{\cos^{2}\frac{x}{2}}\\ & =\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \end{align*}双曲線関数の半角公式
(1)
\[ \sinh^{2}\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{2} \](2)
\[ \cosh^{2}\frac{x}{2}=\frac{\cosh x+1}{2} \](3)
\[ \tanh^{2}\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} \](1)
\begin{align*} \sinh^{2}\frac{x}{2} & =-\sin^{2}\frac{ix}{2}\\ & =-\frac{1-\cos ix}{2}\\ & =\frac{\cosh x-1}{2} \end{align*}(2)
\begin{align*} \cosh^{2}\frac{x}{2} & =\cos^{2}\frac{ix}{2}\\ & =\frac{1+\cos ix}{2}\\ & =\frac{\cosh x+1}{2} \end{align*}(3)
\begin{align*} \tanh^{2}\frac{x}{2} & =\frac{\sinh^{2}\frac{x}{2}}{\cosh^{2}\frac{x}{2}}\\ & =\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 三角関数と双曲線関数の半角公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/aeq4cukk/ |
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3角関数と逆3角関数・双曲線関数と逆双曲線関数の関係
\[
\sin^{\bullet}\sin z=z\Leftrightarrow\cos^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z
\]
三角関数と双曲線関数のn乗積分
\[
\int\sin^{2n+m_{\pm}}xdx=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\cos x\sin^{2k+1+m_{\pm}}x\right)+\frac{\Gamma\left(1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\int\sin^{m_{\pm}}xdx\right\}
\]
偏角の3角関数
\[
\sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|}
\]
三角関数と双曲線関数の２倍角と３倍角公式
\[
\sin2x=2\sin x\cos x
\]