内積の連続性
内積の連続性
内積空間\(\left\langle V,\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right\rangle \)のベクトル\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} _{k\in\mathbb{N}},\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} _{k\in\mathbb{N}}\subseteq V\)が\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x},\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{y}_{k}=\boldsymbol{y}\)を満たすとき、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \] が成り立つ。
内積空間\(\left\langle V,\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right\rangle \)のベクトル\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} _{k\in\mathbb{N}},\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} _{k\in\mathbb{N}}\subseteq V\)が\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x},\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{y}_{k}=\boldsymbol{y}\)を満たすとき、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \] が成り立つ。
\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{n}=\boldsymbol{x}\Leftrightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert =0\)、同様に\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{y}_{n}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{y}_{n}-\boldsymbol{y}\right\Vert =0\)より、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|\\ & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|+\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}-\boldsymbol{y}\right\rangle \right|+\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|\\ & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}_{k}-\boldsymbol{y}\right\Vert +\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert \\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \] となり題意を満たす。
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|\\ & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|+\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}-\boldsymbol{y}\right\rangle \right|+\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|\\ & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}_{k}-\boldsymbol{y}\right\Vert +\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert \\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \] となり題意を満たす。
ページ情報
| タイトル | 内積の連続性 |
| URL | https://www.nomuramath.com/o4s03b9l/ |
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ユニタリ変換の定義と性質
\[
\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle
\]
計量を保つ写像・計量同型写像・等長写像・等長同型写像の定義と性質
\[
\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}=\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}
\]
グラム・シュミットの直交化
\[
\boldsymbol{b}_{m}=\frac{\boldsymbol{b}'_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert },\boldsymbol{b}'_{m}=\boldsymbol{a}_{m}-\sum_{k=1}^{m-1}\left\langle \boldsymbol{a}_{m},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }
\]
正規直交基底での内積
\[
\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}}
\]