パーセバルの等式
パーセバルの等式
ヒルベルト空間\(H\)があり、正規直交基底\(\left\{ e_{k}\right\} _{k=1}^{\infty}\subseteq H\)があるとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in H\)に対し、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \] が成り立つ。
ヒルベルト空間\(H\)があり、正規直交基底\(\left\{ e_{k}\right\} _{k=1}^{\infty}\subseteq H\)があるとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in H\)に対し、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \] が成り立つ。
(0)
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\overline{x_{k}}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\overline{x_{j}}\delta_{k,j}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\overline{x_{j}\delta_{k,j}}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\overline{x_{j}\left\langle \boldsymbol{e}_{j},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle }\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\overline{\left\langle \sum_{j=1}^{\infty}x_{j}\boldsymbol{e}_{j},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle }\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle }\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2} \end{align*}(0)-2
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} & =\left\langle \sum_{k=1}^{\infty}x_{k}\boldsymbol{e}_{k},\sum_{j=1}^{\infty}x_{j}\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}x_{k}x_{j}\left\langle \boldsymbol{e}_{k},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_{k}x_{j}\delta_{k,j}\\ & =\sum_{k=1}^{n}x_{k}x_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|^{2}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|\sum_{j=1}^{n}x_{j}\delta_{j,k}\right|^{2}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|\sum_{j=1}^{n}x_{j}\left\langle \boldsymbol{e}_{j},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \sum_{j=1}^{n}x_{j}\boldsymbol{e}_{j},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | パーセバルの等式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/scde1kf9/ |
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ベッセルの不等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
(*)完全正規直交系と同値な条件
\[
\forall\boldsymbol{x}\in H,\boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}
\]
バナッハ空間とヒルベルト空間の定義
完備なノルム空間をバナッハ空間という。
直交系・正規直交系・完全正規直交系の定義
\[
\forall k,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle =0\rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\]