(a)\(\Leftrightarrow\)(b)

\(\Rightarrow\)

対偶で示す
すなわち、ある\(\boldsymbol{x}\in V\)が存在し、
\[ \boldsymbol{x}\ne\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k} \] となるとき、\(\exists k,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle =0\land\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}\)を示せばいい。
条件より、ある\(\boldsymbol{x}\in V\)が存在し、
\[ \boldsymbol{x}\ne\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k} \] となるので、
\begin{align*} \boldsymbol{y} & =\boldsymbol{x}-\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}\\ & \ne\boldsymbol{0} \end{align*} とおくと、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{x}-\sum_{j}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle \boldsymbol{e}_{j},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle -\sum_{j}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle \left\langle \boldsymbol{e}_{j},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle -\sum_{j}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \delta_{j,k}\\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \\ & =0 \end{align*} となるが、\(\boldsymbol{y}\ne0\)である。
従って対偶が示されたので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\forall k,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle =0\)ならば、
\begin{align*} \boldsymbol{x} & =\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}\\ & =\sum_{k}0\boldsymbol{e}_{k}\\ & =0 \end{align*} となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(b)\(\Rightarrow\)(c)

\[ \boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k} \] が成り立っているとき、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\left\langle \sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k},\sum_{j}\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle \boldsymbol{e}_{j}\right\rangle \\ & =\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \sum_{j}\overline{\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle }\left\langle \boldsymbol{e}_{k},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle \\ & =\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \sum_{j}\overline{\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle }\delta_{k,j}\\ & =\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \overline{\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle }\\ & =\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \left\langle \boldsymbol{e}_{k},\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

(c)\(\Rightarrow\)(d)

\[ \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \left\langle \boldsymbol{e}_{k},\boldsymbol{y}\right\rangle \] が成り立っているとき、\(\boldsymbol{y}\rightarrow\boldsymbol{x}\)とすると、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \left\langle \boldsymbol{e}_{k},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle }\\ & =\sum_{k}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2} \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

(d)\(\Rightarrow\)(b)

対偶で示す。
ある\(\boldsymbol{x}\in H\)が存在し
\[ \boldsymbol{x}\ne\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k} \] となるとき、ある\(\boldsymbol{y}\in H\)が存在し
\[ \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\ne\sum_{k}\left|\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2} \] を示せばいい。
条件より、ある\(\boldsymbol{x}\in H\)が存在し、
\[ \boldsymbol{x}\ne\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k} \] なので、
\begin{align*} \boldsymbol{y} & =\boldsymbol{x}-\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}\\ & \ne\boldsymbol{0} \end{align*} とおくと、
\begin{align*} \sum_{k}\left|\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2} & =\sum_{k}\left|\left\langle \boldsymbol{x}-\sum_{j}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle \boldsymbol{e}_{j},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}\\ & =\sum_{k}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle -\sum_{j}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle \left\langle \boldsymbol{e}_{j},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}\\ & =\sum_{k}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle -\sum_{j}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{j}\right\rangle \delta_{j,k}\right|^{2}\\ & =\sum_{k}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}\\ & =0\\ & \ne\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} \end{align*} となるので対偶が示されたので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

(e)の証明

略