アフィン変換・正則アフィン変換・合同変換の定義
アフィン変換・正則アフィン変換・合同変換を次のように定義する。

(1)アフィン変換

ベクトル空間\(K^{n}\)があり、\(A\)を\(n\)次正方行列、\(\boldsymbol{b}\in K^{n}\)として\(f:K^{n}\rightarrow K^{n},\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\)となる変換をアフィン変換という。
これは線形変換と平行移動を合わせた変換である。
有限次元の場合は
\[ \widetilde{A}=\left(\begin{array}{cc} A & \boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{0}^{T} & 1 \end{array}\right) \] とすると、
\begin{align*} \widetilde{A}\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{x}\\ 1 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} A & \boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{0}^{T} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{x}\\ 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\ 1 \end{array}\right) \end{align*} となりアフィン変換を行列で表すことができる。

(2)正則アフィン変換

アフィン変換が可逆であるとき、正則アフィン変換といい、正則アフィン変換となるのはアフィン変換\(\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\)の線形変換の行列\(A\)が正則であるときに限る。
正則アフィン変換で有限次元の場合は
\begin{align*} \widetilde{A}^{-1} & =\left(\begin{array}{cc} A & \boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{0}^{T} & 1 \end{array}\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & -A^{-1}\boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{0}^{T} & 1 \end{array}\right) \end{align*} とすると、
\[ \widetilde{A}^{-1}\widetilde{A}=I \] となり、逆アフィン変換を行列で表すことができる。

(3)合同変換

アフィン変換\(f:K^{n}\rightarrow K^{n},\boldsymbol{x}\mapsto U\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\)の線形変換の行列\(U\)がユニタリ行列であるとき、合同変換といい、2点間の距離を変えない変換となる。
何故なら
\begin{align*} \left\Vert f\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)-f\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)\right\Vert ^{2} & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)-f\left(\boldsymbol{x}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)-\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)\right\rangle \\ & =\left\langle U\boldsymbol{x}_{2}+\boldsymbol{b}-\left(U\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{b}\right),U\boldsymbol{x}_{2}+\boldsymbol{b}-\left(U\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{b}\right)\right\rangle \\ & =\left\langle U\left(\boldsymbol{x}_{2}-\boldsymbol{x}_{1}\right),U\left(\boldsymbol{x}_{2}-\boldsymbol{x}_{1}\right)\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x}_{2}-\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}-\boldsymbol{x}_{1}\right\rangle \\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}_{2}-\boldsymbol{x}_{1}\right\Vert ^{2} \end{align*} となるからである。
またユニタリ行列は常に逆行列\(U^{-1}=U^{*}\)をもつので正則アフィン変換であり、行列で表すと、
\[ \widetilde{U}=\left(\begin{array}{cc} U & \boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{0}^{T} & 1 \end{array}\right) \] \[ \widetilde{U}^{-1}=\left(\begin{array}{cc} U^{*} & -U^{*}\boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{0}^{T} & 1 \end{array}\right) \] となる。