ノルム・半ノルムの性質
ノルム・半ノルムの性質
ノルム空間\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)\)、または半ノルム空間\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)\)について次が成り立つ。
ノルム空間\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)\)、または半ノルム空間\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)\)について次が成り立つ。
(1)半正定値性
ノルム・半ノルムともに、任意の\(\boldsymbol{v}\in V\)に対して、半正定値性\(0\leq\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \)が成り立つ。(2)反転対称性
ノルム・半ノルムともに、任意の\(\boldsymbol{v}\in V\)に対して、反転対称性\(\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert =\left\Vert -\boldsymbol{v}\right\Vert \)が成り立つ。(3)逆向き3角不等式
ノルム・半ノルムともに、任意の\(\boldsymbol{v}\in V\)に対して、逆向き3角不等式\(\left|\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \right|\leq\left\Vert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\right\Vert \)が成り立つ。(4)
ノルムならば半ノルムであるが逆は一般的に成り立たない。劣加法性\(\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \)をみたすとき、
\[ \begin{cases} \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \\ \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \end{cases} \] を満たす。
何故なら
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert & =\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}\right\Vert \\ & \leq\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert +\left\Vert -\boldsymbol{v}\right\Vert \\ & =\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \end{align*} となるので移項すると、
\[ \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert \] となり、
\[ \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \] と1つ目の式になる。
ここで\(\boldsymbol{v}\rightarrow-\boldsymbol{v}\)とすると、
\[ \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \] となり、2つ目の式になる。
従って題意は成り立つ。
\[ \begin{cases} \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \\ \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \end{cases} \] を満たす。
何故なら
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert & =\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}\right\Vert \\ & \leq\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert +\left\Vert -\boldsymbol{v}\right\Vert \\ & =\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \end{align*} となるので移項すると、
\[ \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert \] となり、
\[ \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \] と1つ目の式になる。
ここで\(\boldsymbol{v}\rightarrow-\boldsymbol{v}\)とすると、
\[ \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \] となり、2つ目の式になる。
従って題意は成り立つ。
(1)
独立性の\(\Leftarrow\)と斉次性と劣加法性より、\[ \forall\boldsymbol{v}\in V,0=\left\Vert \boldsymbol{0}\right\Vert =\left\Vert \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \frac{1}{2}\boldsymbol{v}\right\Vert +\left\Vert -\frac{1}{2}\boldsymbol{v}\right\Vert =\left|\frac{1}{2}\right|\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert +\left|-\frac{1}{2}\right|\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \] となるので半正定値性\(0\leq\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \)を満たす。
(2)
斉次性\(\left\Vert a\boldsymbol{v}\right\Vert =\left|a\right|\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \)より、\(\left\Vert -\boldsymbol{v}\right\Vert =\left|-1\right|\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \)なので、反転対称性\(\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert =\left\Vert -\boldsymbol{v}\right\Vert \)が成り立つ。(3)
劣加法性より、\(\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \)なので移項すると\(\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\right\Vert \)となり\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\)を入れ替えると\(\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\right\Vert \)となるので、逆向き3角不等式\(\left|\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \right|\leq\left\Vert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\right\Vert \)が成り立つ。(4)
\(\Rightarrow\)
ノルムと半ノルムの定義より明らかである。逆は一般的に成り立たない。
1次元ベクトル\(\mathbb{R}^{1}\)の任意の元\(\left(x\right)\in\mathbb{R}^{1}\)を0に写す零関数\(\left\Vert \left(x\right)\right\Vert =0\)は斉次性・劣加法性を満たすので半ノルムである。しかし、独立性\(\left\Vert \left(1\right)\right\Vert =0\Rightarrow\left(1\right)=\left(0\right)\)が成り立たないのでノルムではない。
従って逆は一般的に成り立たない。
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| タイトル | ノルム・半ノルムの性質 |
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ノルム空間(ノルム線形空間)と半ノルム空間(半ノルム線形空間)の定義
\[
\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)
\]