ノルム空間(ノルム線形空間)と半ノルム空間(半ノルム線形空間)の定義

(1)ノルム空間

体\(K\)上の線形空間\(V\)の任意の元\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in V\)と任意の\(a\in K\)対し、

(a)独立性

\[ \left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert =0\Leftrightarrow\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0} \]

(b)斉次性

\[ \left\Vert a\boldsymbol{v}\right\Vert =\left|a\right|\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \]

(c)劣加法性(3角不等式)

\[ \left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \] を満たす関数\(\left\Vert \bullet\right\Vert :V\rightarrow\mathbb{R},\boldsymbol{v}\mapsto\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \)を\(V\)のノルムという。
体\(K\)上の線形空間\(V\)と\(V\)でのノルム\(\left\Vert \bullet\right\Vert \)の組\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)\)をノルム空間という。

(2)半ノルム空間

斉次性・劣加法性を満たす関数\(\left\Vert \bullet\right\Vert :V\rightarrow\mathbb{R},\boldsymbol{v}\mapsto\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \)を\(V\)の半ノルムという。
体\(K\)上の線形空間\(V\)と\(V\)での半ノルム\(\left\Vert \bullet\right\Vert \)の組\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)\)を半ノルム空間という。
半ノルムは独立性\(\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert =0\Leftrightarrow\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}\)は満たさなくてもいいが、斉次性より、\(\left\Vert 0\boldsymbol{v}\right\Vert =\left|0\right|\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \)なので\(\left\Vert \boldsymbol{0}\right\Vert =0\)となるので、\(\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert =0\Leftarrow\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}\)を満たす。