ベクトル空間の線形同型写像・線形同型の定義と性質

by nomura · 2026年3月24日

ベクトル空間の線形同型写像・線形同型の定義と性質

ベクトル空間の線形同型写像・線形同型の定義
体$K$上でベクトル空間$V,W$があり、線形写像$f:V\rightarrow W$があるとする。
線形写像$f$が全単射であるとき、線形同型写像という。
このとき、全単射なので逆写像$f^{\bullet}$が存在し、$f^{\bullet}$も全単射かつ線形写像になるので、$f^{\bullet}$も線形同型写像になる。
ベクトル空間$V,W$の間に線形同型写像が存在するとき、$V,W$は線形同型または単に同型であるといい、$V\simeq W$で表す。

ベクトル空間の線形同型写像・線形同型の性質

(1)

体$K$上のベクトル空間$V,W$があり、線形写像$f:V\rightarrow W$が線形同型写像であるとき、写像により1次独立・1次従属・基底を保つ。
1次従属については、線形同型写像とは限らない線形写像で1次従属を保ちます。

(2)

ベクトル空間$V,W$があるとき、$\dim V=\dim W$となることと、$V$と$W$が線形同型$V\simeq W$になることは同値である。

(3)

ベクトル空間$V,W$と$V$から$W$への線形写像$f:V\rightarrow W$があり、$\dim V=\dim W$のとき、次は同値となる。

(a)

$f$は線形同型写像となる。

(b)

$f$は単射である。

(c)

$f$は全射である。

$f$が線形同型写像のとき、逆写像$f^{\bullet}$も線形同型写像になることの証明
$f$は線形同型写像なのでベクトル空間$V,W$の間に線形同型写像$f:V\rightarrow W$が存在するとする。
このとき、$f$は全単射なので$f^{\bullet}$も全単射となる。
次に$f^{\bullet}$も線形写像になることを示す。
$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W$とすると、$f$は線形写像で$f\circ f^{\bullet}$は恒等写像なので、
\begin{align*} f^{\bullet}\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) & =f^{\bullet}\left(ff^{\bullet}\left(\boldsymbol{x}\right)+ff^{\bullet}\left(\boldsymbol{y}\right)\right)\\ & =f^{\bullet}\left(f\left(f^{\bullet}\left(\boldsymbol{x}\right)+f^{\bullet}\left(\boldsymbol{y}\right)\right)\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\boldsymbol{x}\right)+f^{\bullet}\left(\boldsymbol{y}\right) \end{align*} となり、加法性を満たす。
また、$c\in K$とすると、
\begin{align*} f^{\bullet}\left(cx\right) & =f^{\bullet}\left(cff^{\bullet}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\\ & =f^{\bullet}\left(f\left(cf^{\bullet}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\right)\\ & =cf^{\bullet}\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、斉1次性を満たす。
これらより、$f^{\bullet}$は加法性・斉一次性を満たすので線形写像となる。
従って、$f^{\bullet}$は全単射かつ線形写像となるので線形同型写像となる。

(1)

1次独立

$V$の1次独立なベクトル$\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}$があるとき、$\left(c_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K$として、$\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}=0$を満たす$c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}$は$c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0$のみである。
これより、$\sum_{k=1}^{n}c_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)=0$を満たすとき、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\sum_{k=1}^{n}c_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =f\left(\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right) \end{align*} となり、$f$は線形で同型写像なので$f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$となるので、
\[ f\left(\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0} \] となるので、これを満たす$\left(c_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }$は$c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0$のみである。
従って、$f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{n}\right)$は1次独立となる。

1次従属

$V$の1次従属なベクトル$\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}$はある$\left(c_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K,j\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} $が存在し、$c_{j}\ne0$かつ$\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}=0$を満たす。
これより、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0} & \Rightarrow f\left(\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)=f\left(\boldsymbol{0}\right)\\ & \Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}c_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)=\boldsymbol{0} \end{align*} となるので、$c_{j}\ne0$かつ$\sum_{k=1}^{n}c_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)=\boldsymbol{0}$を満たす。
従って、$f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{n}\right)$は1次従属となる。

基底

1次独立は保つので全域性を保つことを示す。
$V$の基底を$\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}$とすると、$f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{n}\right)$は1次独立となる。
任意の$\boldsymbol{w}\in W$について、ある$\left(x_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K$が存在し、$\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}=f^{\bullet}\left(\boldsymbol{w}\right)$となる。
これより、$\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}=f^{\bullet}\left(\boldsymbol{w}\right)\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}x_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)=\boldsymbol{w}$となるので$\boldsymbol{w}$は$f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{n}\right)$の1次結合で表されるので全域性が成り立つ。
従って1次独立と全域性が成り立つので、$f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{n}\right)$は基底となる。

-

これらより、線形写像が同型写像であるとき、写像により1次独立・1次従属・基底を保つ。

(2)

$\Rightarrow$

$\dim V=\dim W=n$とおく。
$V$の基底を$\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}$として、$W$の基底を$\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}$とする。
$V$から$W$への線形写像を$f:V\rightarrow W,\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{v}_{k}\mapsto\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{w}_{k}$とする。
ここで、
\[ \boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k} \] \[ \boldsymbol{y}=\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{v}_{k} \] として、$f\left(\boldsymbol{x}\right)=f\left(\boldsymbol{y}\right)$とすると、
\begin{align*} f\left(\boldsymbol{x}\right)=f\left(\boldsymbol{y}\right) & \Leftrightarrow f\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)=f\left(\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & \Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{w}_{k}=\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{w}_{k}\\ & \Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)\boldsymbol{w}_{k}=\boldsymbol{0}\\ & \Leftrightarrow\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,x_{k}-y_{k}=0\cmt{\because\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\text{は基底なので1次独立}}\\ & \Leftrightarrow\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,x_{k}=y_{k}\\ & \Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}=\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{v}_{k}\\ & \Leftrightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} \end{align*} となるので、$f$は単射となる。
また、任意の$\boldsymbol{a}\in W$について、$\boldsymbol{a}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{w}_{k}$と表されるので、$\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{v}_{k}\in V$に$f$を作用させれば、
\begin{align*} f\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right) & =\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{w}_{k}\\ & =\boldsymbol{a} \end{align*} となるので、$f$は全射である。
これらより、$f$は線形写像であり全単射となるので、$f$は線形同型写像となる。

$\Leftarrow$

$V$と$W$が線形同型$V\simeq W$であるとき、ある線形同型写像$f:V\rightarrow W$が存在し、基底を保つので$\dim V=\dim W$が成り立つ。
従って、$\Leftarrow$が成り立つ。

$\Leftrightarrow$

これらより、$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$が成り立つ。

(3)

(a)$\Rightarrow$(b)

$f$が線形同型写像であるとき$f$は全単射であるので単射である。
従って、 (a)$\Rightarrow$(b)が成り立つ。

(a)$\Rightarrow$(c)

$f$が線形同型写像であるとき$f$は全単射であるので全射である。
従って、 (a)$\Rightarrow$(c)が成り立つ。

(b)$\Rightarrow$(a)

条件より$f$は単射であるので$\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}_{W}\right\} $であり、次元定理より、$\dim\im f=\dim V-\dim\ker f=\dim V=\dim W$となるので、$\im f=W$となり$f$は全射となる。
従って、$f$は単射かつ全射となるので全単射となり、$f$は線形写像であるので線形同型写像となる。
故に (b)$\Rightarrow$(a)が成り立つ。

(c)$\Rightarrow$(a)

条件より$f$は全射であるので$\im f=W$であり、次元定理より、$\dim\ker f=\dim V-\dim\im f=\dim V-\dim W=0$となるので、$\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}_{W}\right\} $となり$f$は単射となる。
従って、$f$は全射かつ単射となるので全単射となり、$f$は線形写像であるので線形同型写像となる。
従って、 (c)$\Rightarrow$(a)が成り立つ。

-

これらより、 (a)$\Rightarrow$(b)と(b)$\Rightarrow$(a)が成り立つので、(a)$\Leftrightarrow$(b)となり、(a)$\Rightarrow$(c)と(c)$\Rightarrow$(a)が成り立つので、(a)$\Leftrightarrow$(c)となる。
従って、(a)$\Leftrightarrow$(b)$\Leftrightarrow$(c)となり題意は成り立つ。

補足(b)$\Leftrightarrow$(c)

次元定理より、$\null\left(f\right)+\rank\left(f\right)=\dim\left(V\right)$であるので、
\begin{align*} f\text{が単射} & \Leftrightarrow\ker\left(f\right)=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \\ & \Leftrightarrow\rank\left(f\right)=\dim\left(V\right)\\ & \Leftrightarrow\rank\left(f\right)=\dim\left(W\right)\\ & \Leftrightarrow\im\left(f\right)=W\\ & \Leftrightarrow f\text{が全射} \end{align*} となる。
従って、(b)$\Leftrightarrow$(c)が成り立つ。