(1)

\(\Rightarrow\)

\(f\)は全射なので、任意の\(w\in W\)に対し、ある\(v\in V\)が存在し、\(f\left(v\right)=w\)を満たす。
これより、任意の\(w\)について\(w=f\left(v\right)\in\im f\)が成り立つので\(W\subseteq\im f\)となる。
また一般的に\(\im f\subseteq W\)なので\(\im f=W\)となり\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

任意の\(w\in W\)に対し、ある\(v\in V\)が存在し、条件より\(w\in W=\im f\)となるので\(w=f\left(v\right)\)となる。
従って、\(f\)は全射となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

\(\Rightarrow\)

線形写像なので\(f\left(\boldsymbol{0}\right)=f\left(0\boldsymbol{0}\right)=0f\left(\boldsymbol{0}\right)=0\)であり、\(\boldsymbol{a}\in\ker f\)とすると条件より単射なので、\(f\left(\boldsymbol{a}\right)=f\left(\boldsymbol{0}\right)\Rightarrow\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}\)となるので\(\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となる。

\(\Leftarrow\)

\(a,b\in V\)として\(f\left(\boldsymbol{a}\right)=f\left(\boldsymbol{b}\right)\)とする。
線形性より、\(f\left(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right)=f\left(\boldsymbol{a}\right)-f\left(\boldsymbol{b}\right)=\boldsymbol{0}\)となり、\(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\in\ker f\)となるが\(\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)なので\(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\)となり\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}\)となる。
従って\(f\left(\boldsymbol{a}\right)=f\left(\boldsymbol{b}\right)\Rightarrow\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}\)となるので単射となり\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(3)

\begin{align*} f\text{が全射} & \Leftrightarrow\im f=W\\ & \Leftrightarrow\dim\im f=\dim W \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(4)

\begin{align*} f\text{が単射} & \Leftrightarrow\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \\ & \Leftrightarrow\dim\ker f=0\\ & \Leftrightarrow\dim V-\dim\im f=0\cmt{\because\dim V=\dim\ker V+\dim\im V}\\ & \Leftrightarrow\dim V=\dim\im f \end{align*} となるので題意は成り立つ。