線形写像の全射・単射と像・核と次元

by nomura · 2026年3月19日

線形写像の全射・単射と像・核と次元
ベクトル空間$V,W$と線形写像$f:V\rightarrow W$がある。

(1)全射

全射であることと、$\im f=W$となることは同値である。

(2)単射

単射であることと、$\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} $となることは同値である。

(3)全射

全射であることと、次元について$\dim\im f=\dim W$となることは同値である。

(4)単射

単射であることと、次元について$\dim\im f=\dim V$となることは同値である。

(1)

$\Rightarrow$

$f$は全射なので、任意の$w\in W$に対し、ある$v\in V$が存在し、$f\left(v\right)=w$を満たす。
これより、任意の$w$について$w=f\left(v\right)\in\im f$が成り立つので$W\subseteq\im f$となる。
また一般的に$\im f\subseteq W$なので$\im f=W$となり$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

任意の$w\in W$に対し、ある$v\in V$が存在し、条件より$w\in W=\im f$となるので$w=f\left(v\right)$となる。
従って、$f$は全射となるので$\Leftarrow$が成り立つ。

$\Leftrightarrow$

これらより、$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$が成り立つ。

(2)

$\Rightarrow$

線形写像なので$f\left(\boldsymbol{0}\right)=f\left(0\boldsymbol{0}\right)=0f\left(\boldsymbol{0}\right)=0$であり、$\boldsymbol{a}\in\ker f$とすると条件より単射なので、$f\left(\boldsymbol{a}\right)=f\left(\boldsymbol{0}\right)\Rightarrow\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$となるので$\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} $となる。

$\Leftarrow$

$a,b\in V$として$f\left(\boldsymbol{a}\right)=f\left(\boldsymbol{b}\right)$とする。
線形性より、$f\left(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right)=f\left(\boldsymbol{a}\right)-f\left(\boldsymbol{b}\right)=\boldsymbol{0}$となり、$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\in\ker f$となるが$\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} $なので$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$となり$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$となる。
従って$f\left(\boldsymbol{a}\right)=f\left(\boldsymbol{b}\right)\Rightarrow\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$となるので単射となり$\Leftarrow$が成り立つ。

$\Leftrightarrow$

これらより、$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$が成り立つ。

(3)

\begin{align*} f\text{が全射} & \Leftrightarrow\im f=W\\ & \Leftrightarrow\dim\im f=\dim W \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(4)

\begin{align*} f\text{が単射} & \Leftrightarrow\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \\ & \Leftrightarrow\dim\ker f=0\\ & \Leftrightarrow\dim V-\dim\im f=0\cmt{\because\dim V=\dim\ker V+\dim\im V}\\ & \Leftrightarrow\dim V=\dim\im f \end{align*} となるので題意は成り立つ。