(1)

\(\dim\im f=s,\dim\ker f=t\)とする。
\(\im f\)の基底を\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{s}\right\} \)として、\(\ker f\)の基底を\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1,},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{t}\right\} \)とする。
任意の\(i\in\left\{ 1,2,\cdots,s\right\} \)に対しある\(\boldsymbol{v}'_{i}\in V\)が存在し、\(\boldsymbol{w}_{i}\in\im f\)なので\(f\left(\boldsymbol{v}'_{i}\right)=\boldsymbol{w}_{i}\)となる。
これより、\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{s},\boldsymbol{v}{}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{t}\right\} \)が\(V\)の基底になっていることを示せばよい。

1次独立性

\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{s},\boldsymbol{v}{}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{t}\right\} \)が1次独立であることを示すために
\[ \sum_{k=1}^{s}c'_{k}\boldsymbol{v}'_{k}+\sum_{k=1}^{t}c_{k}\boldsymbol{v}{}_{k}=\boldsymbol{0}_{V} \] を満たす\(c'_{1},c'_{2},\cdots,c'_{s},c_{1},c_{2},\cdots,c_{t}\in K\)を求める。
両辺に\(f\)を作用させると、
\begin{align*} \boldsymbol{0}_{W} & =f\left(\boldsymbol{0}_{V}\right)\\ & =f\left(\sum_{k=1}^{s}c'_{k}\boldsymbol{v}'_{k}+\sum_{k=1}^{t}c_{k}\boldsymbol{v}{}_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{s}c'_{k}f\left(\boldsymbol{v}'_{k}\right)+\sum_{k=1}^{t}c_{k}f\left(\boldsymbol{v}{}_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{s}c'_{k}\boldsymbol{w}_{k}+\sum_{k=1}^{t}c_{k}f\left(\boldsymbol{v}{}_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{s}c'_{k}\boldsymbol{w}_{k} \end{align*} となり、\(\left\{ \boldsymbol{w}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,s\right\} }\)は\(\im f\)の基底であり1次独立であるので\(c'_{1}=c'_{2}=\cdots=c'_{s}=0\)となる。
これより、
\begin{align*} \boldsymbol{0}_{V} & =\sum_{k=1}^{s}c'_{k}\boldsymbol{v}'_{k}+\sum_{k=1}^{t}c_{k}\boldsymbol{v}{}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{t}c_{k}\boldsymbol{v}{}_{k} \end{align*} となるが、\(\left\{ \boldsymbol{v}{}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,t\right\} }\)は\(\ker f\)の基底であり1次独立であるので\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{t}=0\)となる。
これらより、
\[ \sum_{k=1}^{s}c'_{k}\boldsymbol{v}'_{k}+\sum_{k=1}^{t}c_{k}\boldsymbol{v}{}_{k}=\boldsymbol{0}_{V} \] を満たす\(c'_{1},c'_{2},\cdots,c'_{s},c_{1},c_{2},\cdots,c_{t}\)は\(c'_{1}=c'_{2}=\cdots=c'_{s}=c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{t}=0\)のみとなるので\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{s},\boldsymbol{v}{}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{t}\right\} \)は1次独立となる。

全域性

任意の\(\boldsymbol{v}\in V\)に対し、\(f\left(\boldsymbol{v}\right)\in\im f\)なので、ある\(\left(a_{k}'\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots s\right\} }\subseteq K\)が存在し、
\begin{align*} f\left(\boldsymbol{v}\right) & =\sum_{k=1}^{s}a'_{k}\boldsymbol{w}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{s}a'_{k}f\left(\boldsymbol{v}'_{k}\right)\\ & =f\left(\sum_{k=1}^{s}a'_{k}\boldsymbol{v}'_{k}\right) \end{align*} となるので、
\begin{align*} \boldsymbol{0}_{W} & =f\left(\boldsymbol{v}\right)-f\left(\sum_{k=1}^{s}a'_{k}\boldsymbol{v}'_{k}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{v}-\sum_{k=1}^{s}a'_{k}\boldsymbol{v}'_{k}\right) \end{align*} となる。
これは、
\[ \boldsymbol{v}-\sum_{k=1}^{s}a'_{k}\boldsymbol{v}'_{k}\in\ker f \] を表して、\(\ker f\)の元なので基底\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,t\right\} }\)の1次結合で表せるので、ある\(\left(a_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots t\right\} }\subseteq K\)が存在し、
\[ \boldsymbol{v}-\sum_{k=1}^{s}a'_{k}\boldsymbol{v}'_{k}=\sum_{k=1}^{t}a_{k}\boldsymbol{v}_{k} \] となる。
移項すると、
\[ \boldsymbol{v}=\sum_{k=1}^{s}a_{k}\boldsymbol{v}'_{k}+\sum_{k=1}^{t}a_{k}\boldsymbol{v}_{k} \] となり、\(\boldsymbol{v}\)は\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{s},\boldsymbol{v}{}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{t}\right\} \)の1次結合で表せる。

-

これらより、1次独立性・全域性を満たすので、\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{s},\boldsymbol{v}{}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{t}\right\} \)は\(V\)の基底になっている。
従って、与式は成り立つ。

(1)-2

\(V\)が有限次元として証明をする。
\(\ker f\)は\(V\)の部分空間であるので、
\[ \dim\left(V/\ker f\right)=\dim V-\dim\ker f \] が成り立ち、準同型定理より\(V/\ker f\simeq\im f\)であるので、
\[ \dim\im f=\dim V-\dim\ker f \] となる。
これを移項すると、
\[ \dim V=\dim\im f+\dim\ker f \] となる。
従って題意は成り立つ。

(2)

行列\(A\)は\(m\times n\)行列なのでベクトルを作用させると\(A:K^{n}\rightarrow K^{m}\)となる。
これに次元定理\(\dim K^{n}=\dim\im A+\dim\ker A\)を適用すると、\(n=\dim\im A+\dim\ker A=\rank A+\null A\)となり与式が成り立つ。

(3)

仮定より、\(V\)の基底は\(n\)個なので\(\dim V=n\)となり、\(W\)の基底は\(m\)個なので\(\dim W=m\)となる。
\(r=\dim\im f\)とおくと、\(\im f\)の基底は\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{r}\)と表される。
このとき、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)に対し、ある\(\boldsymbol{v}_{k}\in V\)が存在し、\(f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)=\boldsymbol{w}_{k}\in\im f\)となる。
また、次元定理より、\(\dim\ker f=\dim V-\dim\im f=n-r\)であるので、\(\ker f\)の\(n-r\)個の基底を\(\boldsymbol{v}_{r+1},\boldsymbol{v}_{r+2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)とする。
このとき、\(\left(c_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)として、
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0}_{V} \] を満たす\(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\)が\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0\)のみとなることを示し、\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)が1次独立となることを示す。
この式に\(f\)を作用させると、
\begin{align*} \boldsymbol{0}_{W} & =f\left(\boldsymbol{0}_{V}\right)\\ & =f\left(\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}c_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{r}c_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)+\sum_{k=r+1}^{n}c_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{r}c_{k}\boldsymbol{w}_{k}+\sum_{k=r+1}^{n}c_{k}\boldsymbol{0}_{W}\\ & =\sum_{k=1}^{r}c_{k}\boldsymbol{w}_{k} \end{align*} となり、\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{r}\)は\(\im f\)の基底なので1次独立であるので、この式が成り立つのは、\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{r}=0\)のみである。
そうすると、
\begin{align*} \boldsymbol{0}_{V} & =\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{r}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}+\sum_{k=r+1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{r}0\boldsymbol{v}_{k}+\sum_{k=r+1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}\\ & =\sum_{k=r+1}^{n}c_{k}\boldsymbol{v}_{k} \end{align*} となり、\(\boldsymbol{v}_{r+1},\boldsymbol{v}_{r+2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)は\(\ker f\)の基底より1次独立であるので、この式が成り立つのは、\(c_{r+1}=c_{r+2}=\cdots=c_{n}=0\)のみである。
これらより、\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{r}=c_{r+1}=c_{r+2}=\cdots=c_{n}=0\)となるので、\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)は1次独立となる。
従って、\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)は1次独立であり、\(\dim V=n\)を満たすので、\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)は\(V\)の基底となる。
また、\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{r}\)は\(\im f\)の基底より1次独立であり、\(\boldsymbol{w}_{r+1},\boldsymbol{w}_{r+2},\cdots,\boldsymbol{w}_{m}\)を加えても1次独立となるようにできる。
このとき、\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{m}\)は1次独立であり、\(\dim W=m\)を満たすので、\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{m}\)は\(W\)の基底となる。
故に題意は成り立つ。