ブロック対角行列の和・積・べき乗
ブロック対角行列の和・積・べき乗
ブロック対角行列\(A=\left(A_{i,j}\right)_{p\times p},B=\left(B_{i,j}\right)_{p\times p}\)があるとき次が成り立つ。
\[ A+B=\left(\begin{array}{cccc} A_{11}+B_{11} & O & \cdots & O\\ O & A_{22}+B_{22} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp}+B_{pp} \end{array}\right) \]
\[ AB=\left(\begin{array}{cccc} A_{11}B_{11} & O & \cdots & O\\ O & A_{22}B_{22} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp}B_{pp} \end{array}\right) \] (3)
\(k\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ A^{k}=\left(\begin{array}{cccc} A_{11}^{k} & O & \cdots & O\\ O & A_{22}^{k} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp}^{k} \end{array}\right) \]
ブロック対角行列\(A=\left(A_{i,j}\right)_{p\times p},B=\left(B_{i,j}\right)_{p\times p}\)があるとき次が成り立つ。
(1)
ブロック対角行列\(A,B\)の型は等しいとする。\[ A+B=\left(\begin{array}{cccc} A_{11}+B_{11} & O & \cdots & O\\ O & A_{22}+B_{22} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp}+B_{pp} \end{array}\right) \]
(2)
ブロック対角行列\(A,B\)の型は等しいとする。\[ AB=\left(\begin{array}{cccc} A_{11}B_{11} & O & \cdots & O\\ O & A_{22}B_{22} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp}B_{pp} \end{array}\right) \] (3)
\(k\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ A^{k}=\left(\begin{array}{cccc} A_{11}^{k} & O & \cdots & O\\ O & A_{22}^{k} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp}^{k} \end{array}\right) \]
(1)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0\\ 5 & 6 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 11 & 12\\ 0 & 0 & 15 & 16 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc} 1 & 5 & 0 & 0\\ 2 & 6 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 11 & 15\\ 0 & 0 & 12 & 16 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 0 & 0\\ 5 & 6 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 11 & 12\\ 0 & 0 & 15 & 16 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 5 & 0 & 0\\ 2 & 6 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 11 & 15\\ 0 & 0 & 12 & 16 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc|cc} 1+1 & 2+5 & 0 & 0\\ 5+2 & 6+6 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 11+11 & 12+15\\ 0 & 0 & 15+12 & 16+16 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 7 & 0 & 0\\ 7 & 12 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 22 & 27\\ 0 & 0 & 27 & 32 \end{array}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0\\ 5 & 6 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 11 & 12\\ 0 & 0 & 15 & 16 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} 1 & 5 & 0 & 0\\ 2 & 6 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 11 & 15\\ 0 & 0 & 12 & 16 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 0 & 0\\ 5 & 6 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 11 & 12\\ 0 & 0 & 15 & 16 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 5 & 0 & 0\\ 2 & 6 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 11 & 15\\ 0 & 0 & 12 & 16 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 5 & 6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 5\\ 2 & 6 \end{array}\right) & O\\ O & \left(\begin{array}{cc} 11 & 12\\ 15 & 16 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 11 & 15\\ 12 & 16 \end{array}\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(\begin{array}{cc} 5 & 17\\ 17 & 61 \end{array}\right) & O\\ O & \left(\begin{array}{cc} 265 & 357\\ 357 & 481 \end{array}\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc|cc} 5 & 17 & 0 & 0\\ 17 & 61 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 265 & 357\\ 0 & 0 & 357 & 481 \end{array}\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0\\ 5 & 6 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 11 & 12\\ 0 & 0 & 15 & 16 \end{array}\right)^{2} & =\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 0 & 0\\ 5 & 6 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 11 & 12\\ 0 & 0 & 15 & 16 \end{array}\right)^{2}\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 5 & 6 \end{array}\right)^{2} & O\\ O & \left(\begin{array}{cc} 11 & 12\\ 15 & 16 \end{array}\right)^{2} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(\begin{array}{cc} 11 & 14\\ 35 & 46 \end{array}\right) & O\\ O & \left(\begin{array}{cc} 301 & 324\\ 405 & 436 \end{array}\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc|cc} 11 & 14 & 0 & 0\\ 35 & 46 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 301 & 324\\ 0 & 0 & 405 & 436 \end{array}\right) \end{align*}(1)
\begin{align*} A+B & =\left(\begin{array}{cccc} A_{11} & O & \cdots & O\\ O & A_{22} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc} B_{11} & O & \cdots & O\\ O & B_{22} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & B_{pp} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} A_{11}+B_{11} & O & \cdots & O\\ O & A_{22}+B_{22} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp}+B_{pp} \end{array}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} AB & =\left(\begin{array}{cccc} A_{11} & O & \cdots & O\\ O & A_{22} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} B_{11} & O & \cdots & O\\ O & B_{22} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & v & \cdots & B_{pp} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} A_{11}B_{11} & O & \cdots & O\\ O & A_{22}B_{22} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp}B_{pp} \end{array}\right) \end{align*}(3)
\(k=0\)のとき成り立つ。\(k=m\)のとき成り立つと仮定すると、
\begin{align*} A^{m+1} & =A^{m}A\\ & =\left(\begin{array}{cccc} A_{11}^{m} & O & \cdots & O\\ O & A_{22}^{m} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp}^{m} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} A_{11} & O & \cdots & O\\ O & A_{22} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} A_{11}^{m+1} & O & \cdots & O\\ O & A_{22}^{m+1} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{pp}^{m+1} \end{array}\right) \end{align*} となるので\(k=m+1\)のときも成り立つ。
故に数学的帰納法より、任意の\(k\in\mathbb{N}_{0}\)に対し成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ブロック対角行列の和・積・べき乗 |
| URL | https://www.nomuramath.com/sgp4213x/ |
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ブロック対角行列の最小多項式
\[
m\left(x\right)=\lcm\left(m_{1}\left(x\right),m_{2}\left(x\right),\cdots,m_{r}\left(x\right)\right)
\]
ブロック対角行列の固有空間と広義固有空間
\[
W\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }W_{k}\left(\lambda\right)
\]
ブロック対角行列の固有多項式と固有値
\[
p_{A}\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right)
\]
ブロック対角行列の逆行列
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1}
\end{array}\right)
\]