2×2ブロック行列の逆行列
2×2ブロック行列の逆行列
2×2ブロック行列の逆行列について次が成り立つ。
ブロック行列は対称ブロック分けとする。
\[ \left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & O\\ O & D^{-1} \end{array}\right) \] となる。
\[ \left(\begin{array}{cc} A & B\\ O & D \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1}\\ O & D^{-1} \end{array}\right) \] となる。
\[ \left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & O\\ -D^{-1}CA^{-1} & D^{-1} \end{array}\right) \] となる。
\[ \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\ -\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} & \left(D-CA^{-1}B\right)^{-1} \end{array}\right) \] となる。
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)^{-1} & =\left(\begin{array}{cc} \left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & -\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\ -D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}+D^{-1} \end{array}\right) \end{align*} となる。
2×2ブロック行列の逆行列について次が成り立つ。
ブロック行列は対称ブロック分けとする。
(1)
\(A,D\)が正則なとき、\[ \left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & O\\ O & D^{-1} \end{array}\right) \] となる。
(2)
\[ \left(\begin{array}{cc} I & B\\ O & I \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} I & -B\\ O & I \end{array}\right) \](3)
\[ \left(\begin{array}{cc} I & O\\ C & I \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} I & O\\ -C & I \end{array}\right) \](4)
\(A,D\)が正則なとき、\[ \left(\begin{array}{cc} A & B\\ O & D \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1}\\ O & D^{-1} \end{array}\right) \] となる。
(5)
\(A,D\)が正則なとき、\[ \left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & O\\ -D^{-1}CA^{-1} & D^{-1} \end{array}\right) \] となる。
(6)
\(A\)と\(D-CA^{-1}B\)が正則なとき、\[ \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\ -\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} & \left(D-CA^{-1}B\right)^{-1} \end{array}\right) \] となる。
(7)
\(D\)と\(A-BD^{-1}C\)が正則なとき、\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)^{-1} & =\left(\begin{array}{cc} \left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & -\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\ -D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}+D^{-1} \end{array}\right) \end{align*} となる。
(1)
\[ \left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & O\\ O & D^{-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} I & O\\ O & I \end{array}\right) \] となるので、\[ \left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & O\\ O & D^{-1} \end{array}\right) \] となり与式は成り立つ。
(2)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} I & B\\ O & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & -B\\ O & I \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} I & -B+B\\ O & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & O\\ O & I \end{array}\right) \end{align*} となるので\[ \left(\begin{array}{cc} I & B\\ O & I \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} I & -B\\ O & I \end{array}\right) \] となり与式は成り立つ。
(3)
\[ \left(\begin{array}{cc} I & O\\ C & I \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} I & O\\ -C & I \end{array}\right) \] も同様に証明ができる。(4)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ O & D \end{array}\right)^{-1} & =\left(\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & -A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & O\\ O & D^{-1} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1}\\ O & D^{-1} \end{array}\right) \end{align*} となり与式は成り立つ。(5)
\[ \left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & O\\ -D^{-1}CA^{-1} & D^{-1} \end{array}\right) \] も同様に証明ができる。(6)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)^{-1} & =\left(\left(\begin{array}{cc} I & O\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D-CA^{-1}B \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D-CA^{-1}B \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} I & O\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & -A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & O\\ O & \left(D-CA^{-1}B\right)^{-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & O\\ -CA^{-1} & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & -A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\ O & \left(D-CA^{-1}B\right)^{-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & O\\ -CA^{-1} & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\ -\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} & \left(D-CA^{-1}B\right)^{-1} \end{array}\right) \end{align*}(7)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)^{-1} & =\left(\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ O & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A-BD^{-1}C & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & O\\ D^{-1}C & I \end{array}\right)\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & O\\ D^{-1}C & I \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} A-BD^{-1}C & O\\ O & D \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ O & I \end{array}\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & O\\ -D^{-1}C & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & O\\ O & D^{-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & -BD^{-1}\\ O & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & O\\ -D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & D^{-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & -BD^{-1}\\ O & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & -\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\ -D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}+D^{-1} \end{array}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2×2ブロック行列の逆行列 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ui9621xi/ |
| SNSボタン |
2×2ブロック行列の行列式
\[
\det\left(\begin{array}{cc}
A & O\\
C & D
\end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right)
\]
2×2ブロック対称分けの積の分割
\[
\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
C & D
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
I & O\\
CA^{-1} & I
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
A & O\\
O & D-CA^{-1}B
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & A^{-1}B\\
O & I
\end{array}\right)
\]
ブロック行列同士の積
\[
\left[AB\right]_{i,j}=\sum_{k=1}^{q}A_{i,k}B_{k,j}
\]
ブロック行列と色々なブロック行列の定義