2×2ブロック行列の行列式
2×2ブロック行列の行列式
2×2ブロック行列の行列式について次が成り立つ。
\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right) \] \[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ O & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right) \]
\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D-CA^{-1}B\right) \] となる。
\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(D\right)\det\left(A-BD^{-1}C\right) \] となる。
2×2ブロック行列の行列式について次が成り立つ。
(1)3角行列
正方行列があり、そのブロック\(A,D\)は正方行列とするとき次が成り立つ。\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right) \] \[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ O & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right) \]
(2)
\(A\)が正則なとき、\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D-CA^{-1}B\right) \] となる。
(3)
\(D\)が正則なとき、\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(D\right)\det\left(A-BD^{-1}C\right) \] となる。
(4)対称ブロック行列
\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ B & A \end{array}\right)=\det\left(A+B\right)\det\left(A-B\right) \](5)反対称ブロック行列
\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ -B & A \end{array}\right)=\det\left(A+iB\right)\det\left(A-iB\right) \]行列式は対称ブロック分けであっても、
\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right)-\det\left(BC\right) \] \[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(AD-BC\right) \] は一般的に成り立たない。
また正方行列となる場合でも一般的に成り立たない。
\[ \det\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right)=1 \] \begin{align*} \det\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ \hline 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right) & =\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\det\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right)-\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =1\cdot4-1\cdot1\\ & =3 \end{align*} となるので、値が異なる。
\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right)-\det\left(BC\right) \] \[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(AD-BC\right) \] は一般的に成り立たない。
反例
\[ \det\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)=-1 \] \begin{align*} \det\left(\begin{array}{cc|c} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 \end{array}\right) & =\det\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\det\left(1\right)-\det\left(\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)\left(10\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\det\left(1\right)-\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので、値が異なる。また正方行列となる場合でも一般的に成り立たない。
反例
\[ \det\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=-1 \] \begin{align*} \det\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \hline 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & =\det\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので、値が異なる。反例
\[ \det\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)=1 \] \begin{align*} \det\left(\begin{array}{cc|cc} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right) & =\det\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =0\cdot1-1\cdot1\\ & =-1 \end{align*} となるので、値が異なる。反例
また各ブロック行列が正則な場合でも\[ \det\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right)=1 \] \begin{align*} \det\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ \hline 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right) & =\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\det\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right)-\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =1\cdot4-1\cdot1\\ & =3 \end{align*} となるので、値が異なる。
(1)
下3角ブロック行列を\begin{align*} X & =\left(x_{i,j}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D \end{array}\right) \end{align*} とおく。
また元の行列を\(n\)次正方行列として、ブロック\(A\)を\(l\)次正方行列、ブロック\(D\)を\(m\)次正方行列とする。
行列式は
\[ \det\left(X\right)=\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)x_{1,\sigma\left(1\right)}x_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots x_{n,\sigma\left(n\right)} \] となる。
\(\forall i\in\left\{ 1,2,\cdots,l\right\} ,\sigma\left(i\right)\in\left\{ l+1,l+2,\cdots,n\right\} \rightarrow x_{i,\sigma\left(i\right)}=0\)となるので、\(\forall i\in\left\{ 1,2,\cdots,l\right\} ,x_{i,\sigma\left(i\right)}\ne0\rightarrow\sigma\left(i\right)\in\left\{ 1,2,\cdots,l\right\} \)となる。
これより、\(\left\{ \sigma\left(1\right),\sigma\left(2\right),\cdots,\sigma\left(l\right)\right\} =\left\{ 1,2,\cdots,l\right\} \)となるので残りは\(\left\{ \sigma\left(l+1\right),\sigma\left(l+2\right),\cdots,\sigma\left(n\right)\right\} =\left\{ l+1,l+2,\cdots,n\right\} \)となる。
ここで、
\[ \sigma_{1}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & l\\ \sigma\left(1\right) & \sigma\left(2\right) & \cdots & \sigma\left(l\right) \end{array}\right) \] \[ \sigma_{2}=\left(\begin{array}{cccc} l+1 & l+2 & \cdots & n\\ \sigma\left(l+1\right) & \sigma\left(l+2\right) & \cdots & \sigma\left(n\right) \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} \det\left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D \end{array}\right) & =\det\left(X\right)\\ & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)x_{1,\sigma\left(1\right)}x_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots x_{n,\sigma\left(n\right)}\\ & =\sum_{\sigma_{2}\sigma_{1}\in S_{n}}\sgn\left(\sigma_{2}\sigma_{1}\right)x_{1,\sigma_{1}\left(1\right)}x_{2,\sigma_{1}\left(2\right)}\cdots x_{l,\sigma_{1}\left(l\right)}x_{l+1,\sigma_{2}\left(l+1\right)}x_{l+2,\sigma_{2}\left(l+2\right)}\cdots x_{n,\sigma\left(n\right)}\\ & =\sum_{\sigma_{1}\in S_{n}}\sgn\left(\sigma_{1}\right)x_{1,\sigma_{1}\left(1\right)}x_{2,\sigma_{1}\left(2\right)}\cdots x_{l,\sigma_{1}\left(l\right)}\sum_{\sigma_{2}}\sgn\left(\sigma_{2}\right)x_{l+1,\sigma_{2}\left(l+1\right)}x_{l+2,\sigma_{2}\left(l+2\right)}\cdots x_{n,\sigma\left(n\right)}\\ & =\det\left(A\right)\det\left(D\right) \end{align*} となり与式は成り立つ。
上3角ブロック行列
\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ O & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right) \] も同様に示せる。
(2)
\begin{align*} \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\det\left(\left(\begin{array}{cc} I & O\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D-CA^{-1}B \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} I & O\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\det\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D-CA^{-1}B \end{array}\right)\det\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D-CA^{-1}B \end{array}\right)\\ & =\det\left(A\right)\det\left(D-CA^{-1}B\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\det\left(\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ O & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A-BD^{-1}C & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & O\\ D^{-1}C & I \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ O & I \end{array}\right)\det\left(\begin{array}{cc} A-BD^{-1}C & O\\ O & D \end{array}\right)\det\left(\begin{array}{cc} I & O\\ D^{-1}C & I \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} A-BD^{-1}C & O\\ O & D \end{array}\right)\\ & =\det\left(D\right)\det\left(A-BD^{-1}C\right) \end{align*}(4)
\begin{align*} \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ B & A \end{array}\right) & =\det\left(\begin{array}{cc} A & B+A\\ B & A+B \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} A-B & O\\ B & A+B \end{array}\right)\\ & =\det\left(A+B\right)\det\left(A-B\right)\cmt{\because\det\left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right)} \end{align*}(5)
\begin{align*} \det\left(\begin{array}{cc} A & B\\ -B & A \end{array}\right) & =\det\left(\begin{array}{cc} A & B+iA\\ -B & A-iB \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} A+iB & O\\ -B & A-iB \end{array}\right)\\ & =\det\left(A+iB\right)\det\left(A-iB\right)\cmt{\because\det\left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right)} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2×2ブロック行列の行列式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/whcun6lp/ |
| SNSボタン |
2×2ブロック対称分けの積の分割
\[
\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
C & D
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
I & O\\
CA^{-1} & I
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
A & O\\
O & D-CA^{-1}B
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & A^{-1}B\\
O & I
\end{array}\right)
\]
ブロック行列同士の積
\[
\left[AB\right]_{i,j}=\sum_{k=1}^{q}A_{i,k}B_{k,j}
\]
ブロック行列と色々なブロック行列の定義