(1)

\(\Rightarrow\)

ユニタリ行列は\(UU^{*}=U^{*}U=I\)なので明らか。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(U^{-1}=U^{*}\)ならば\(UU^{*}=U^{*}U=I\)となるのでユニタリ行列になる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

\(U,V\)をユニタリ行列とする。
\begin{align*} UV\left(UV\right)^{*} & =UVV^{*}U^{*}\\ & =UU^{*}\\ & =I \end{align*} \begin{align*} \left(UV\right)^{*}UV & =\left(UV\left(UV\right)^{*}\right)^{*}\\ & =I^{*}\\ & =I \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(3)

\(U\)をユニタリ行列とする。
\begin{align*} U^{-1}\left(U^{-1}\right)^{*} & =U^{-1}\left(U^{*}\right)^{-1}\\ & =\left(U^{*}U\right)^{-1}\\ & =I^{-1}\\ & =I \end{align*} \begin{align*} \left(U^{-1}\right)^{*}U^{-1} & =\left(U^{-1}\left(U^{-1}\right)^{*}\right)^{*}\\ & =I^{*}\\ & =I \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(4)

\(U\)をユニタリ行列とする。
\begin{align*} U^{*}\left(U^{*}\right)^{*} & =U^{*}U\\ & =I \end{align*} \begin{align*} \left(U^{*}\right)^{*}U^{*} & =\left(UU^{*}\right)^{*}\\ & =I^{*}\\ & =I \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(5)

ユニタリ行列は正規行列であり、正規行列はユニタリ行列で対角化可能であるのでユニタリ行列もユニタリ行列で対角化可能である。

(6)

\(U\)は\(n\)次ユニタリ行列とする。
ユニタリ行列\(U\)は正規行列なので、あるユニタリ行列\(V\)が存在して対角化\(A=V^{-1}UV\)ができる。
また、対角行列\(A\)の対角成分は\(U\)の固有値であり、ユニタリ行列\(U\)の固有値\(\lambda_{k}\)は絶対値が1なので\(\left|\lambda_{k}\right|=1\)であり、ある\(\theta_{k}\in\mathbb{R}\)が存在し、\(\lambda_{k}=e^{i\theta_{k}}\)と表すことができる。
これより、
\begin{align*} U & =VAV^{-1}\\ & =V\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)V^{-1}\\ & =V\diag\left(e^{i\theta_{1}},e^{i\theta_{2}},\cdots,e^{i\theta_{n}}\right)V^{-1}\\ & =V\exp\left(i\diag\left(\theta_{1},\theta_{2},\cdots,\theta_{n}\right)\right)V^{-1}\\ & =\exp\left(iV\diag\left(\theta_{1},\theta_{2},\cdots,\theta_{n}\right)V^{-1}\right)\\ & =\exp\left(iV\diag\left(\theta_{1},\theta_{2},\cdots,\theta_{n}\right)V^{*}\right)\\ & =\exp\left(iH\right)\cmt{H=V\diag\left(\theta_{1},\theta_{2},\cdots,\theta_{n}\right)V^{*}} \end{align*} となる。
この\(H\)は
\begin{align*} H^{*} & =\left(V\diag\left(\theta_{1},\theta_{2},\cdots,\theta_{n}\right)V^{*}\right)^{*}\\ & =V^{**}\diag\left(\theta_{1},\theta_{2},\cdots,\theta_{n}\right)V^{*}\\ & =V\diag\left(\theta_{1},\theta_{2},\cdots,\theta_{n}\right)V^{*}\\ & =H \end{align*} となるので、\(H\)はエルミート行列となる。
従って、あるエルミート行列\(H\)が存在して、\(U=e^{iH}\)となるので題意は成り立つ。

(7)

\(\Rightarrow\)

列ベクトル

ユニタリ行列を列ベクトルを使って\(U=\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\right)\)とすると、
\begin{align*} I & =U^{*}U\\ & =\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\right)^{*}\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} \overline{\boldsymbol{u}_{1}}\\ \overline{\boldsymbol{u}_{2}}\\ \vdots\\ \overline{\boldsymbol{u}_{n}} \end{array}\right)\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \left\langle \overline{\boldsymbol{u}_{1}},\overline{\boldsymbol{u}_{1}}\right\rangle & \left\langle \overline{\boldsymbol{u}_{1}},\overline{\boldsymbol{u}_{2}}\right\rangle & \cdots & \left\langle \overline{\boldsymbol{u}_{1}},\overline{\boldsymbol{u}_{n}}\right\rangle \\ \left\langle \overline{\boldsymbol{u}_{2}},\overline{\boldsymbol{u}_{1}}\right\rangle & \left\langle \overline{\boldsymbol{u}_{1}},\overline{\boldsymbol{u}_{2}}\right\rangle & \cdots & \left\langle \overline{\boldsymbol{u}_{2}},\overline{\boldsymbol{u}_{n}}\right\rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \left\langle \overline{\boldsymbol{u}_{n}},\overline{\boldsymbol{u}_{1}}\right\rangle & \left\langle \overline{\boldsymbol{u}_{n}},\overline{\boldsymbol{u}_{2}}\right\rangle & \cdots & \left\langle \overline{\boldsymbol{u}_{n}},\overline{\boldsymbol{u}_{n}}\right\rangle \end{array}\right)\\ & =\overline{\left(\begin{array}{cccc} \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{1}\right\rangle & \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2}\right\rangle & \cdots & \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{n}\right\rangle \\ \left\langle \boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{1}\right\rangle & \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2}\right\rangle & \cdots & \left\langle \boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{n}\right\rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \left\langle \boldsymbol{u}_{n},\boldsymbol{u}_{1}\right\rangle & \left\langle \boldsymbol{u}_{n},\boldsymbol{u}_{2}\right\rangle & \cdots & \left\langle \boldsymbol{u}_{n},\boldsymbol{u}_{n}\right\rangle \end{array}\right)}\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{1}\right\rangle & \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2}\right\rangle & \cdots & \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{n}\right\rangle \\ \left\langle \boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{1}\right\rangle & \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2}\right\rangle & \cdots & \left\langle \boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{n}\right\rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \left\langle \boldsymbol{u}_{n},\boldsymbol{u}_{1}\right\rangle & \left\langle \boldsymbol{u}_{n},\boldsymbol{u}_{2}\right\rangle & \cdots & \left\langle \boldsymbol{u}_{n},\boldsymbol{u}_{n}\right\rangle \end{array}\right) \end{align*} となるので、列ベクトルは\(\left\langle \boldsymbol{u}_{i},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle =\delta_{i,j}\)となり正規直交基底となる。

行ベクトル

ユニタリ行列を行ベクトルを使って\(U=\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\right)^{T}\)とすると、
\begin{align*} I & =UU^{*}\\ & =\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\right)^{T}\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\right)^{T*}\\ & =\overline{\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\right)^{*}\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\right)}\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{1}\right\rangle & \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2}\right\rangle & \cdots & \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{n}\right\rangle \\ \left\langle \boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{1}\right\rangle & \left\langle \boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2}\right\rangle & \cdots & \left\langle \boldsymbol{u}_{2},\boldsymbol{u}_{n}\right\rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \left\langle \boldsymbol{u}_{n},\boldsymbol{u}_{1}\right\rangle & \left\langle \boldsymbol{u}_{n},\boldsymbol{u}_{2}\right\rangle & \cdots & \left\langle \boldsymbol{u}_{n},\boldsymbol{u}_{n}\right\rangle \end{array}\right) \end{align*} となるので、行ベクトルは\(\left\langle \boldsymbol{u}_{i},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle =\delta_{i,j}\)となり正規直交基底となる。

-

列ベクトル、行ベクトル共に成り立つので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

列ベクトル

\(n\)個の列ベクトル\(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\)が\(\left\langle \boldsymbol{u}_{i},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle =\delta_{i,j}\)となるとき、\(U=\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\right)\)は\(\Rightarrow\)の証明より\(U^{*}U=I\)を満たすのでユニタリ行列となる。

行ベクトル

\(n\)個の行ベクトル\(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\)が\(\left\langle \boldsymbol{u}_{i},\boldsymbol{u}_{j}\right\rangle =\delta_{i,j}\)となるとき、\(U=\left(\boldsymbol{u}_{1},\boldsymbol{u}_{2},\cdots,\boldsymbol{u}_{n}\right)^{T}\)は\(\Rightarrow\)の証明より\(UU^{*}=I\)を満たすのでユニタリ行列となる。

-

列ベクトル、行ベクトル共に成り立つので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(8)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \left\Vert U\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} & =\left\langle U\boldsymbol{x},U\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},U^{*}U\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \end{align*} となるので\(\left\Vert U\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^{n}\)について、極化恒等式より、
\[ \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right) \] が成り立つので、
\begin{align*} \left\langle U^{*}U\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\left\langle U\boldsymbol{x},U\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert U\boldsymbol{x}+U\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert U\boldsymbol{x}-U\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert U\boldsymbol{x}+iU\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert U\boldsymbol{x}-iU\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert U\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right\Vert ^{2}-\left\Vert U\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)\right\Vert ^{2}+i\left\Vert U\left(\boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}\right)\right\Vert ^{2}-i\left\Vert U\left(\boldsymbol{x}-i\boldsymbol{y}\right)\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)\cmt{\because\text{条件より}\forall\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n},\left\Vert U\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert }\\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となり移項すると、\(\left\langle \left(U^{*}U-I\right)\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =0\)となる。
これは任意の\(\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^{n}\)について成り立つので、\(\left(U^{*}U-I\right)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)となり、これは任意の\(\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}\)について成り立つので\(U^{*}U-I=O\)となり、\(U^{*}U=I\)となる。
従って、\(U^{*}=U^{-1}\)となり、\(U\)はユニタリ行列となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(9)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \left\langle U\boldsymbol{x},U\boldsymbol{y}\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{x},U^{*}U\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

条件より、\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\left\langle U\boldsymbol{x},U\boldsymbol{y}\right\rangle \)を満たすので、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\left\langle U\boldsymbol{x},U\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},U^{*}U\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となり、移項すると、
\begin{align*} 0 & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},U^{*}U\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\left(I-U^{*}U\right)\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となり、任意の\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)に対して成り立つので、\(\left(I-U^{*}U\right)\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}\)となり、これは任意の\(\boldsymbol{y}\in K^{n}\)について成り立つので、\(I-U^{*}U=O\)となる。
これより、\(U^{*}U=I\)となり、\(U^{*}=U^{-1}\)となり\(U\)はユニタリ行列となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(10)

\(\Rightarrow\)

ユニタリ行列は\(UU^{*}=U^{*}U=I\)なので明らかに正規行列になる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す
\(A=2I\)とすると\(AA^{*}=4I=A^{*}A\)なので正規行列であるがユニタリ行列でないので逆は一般的に成り立たない。

(11)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \delta_{i,j} & =\left(U^{*}U\right)_{i,j}\\ & =\left(\left(\begin{array}{c} \overline{\boldsymbol{a}}_{1}^{T}\\ \overline{\boldsymbol{a}}_{2}^{T}\\ \vdots\\ \overline{\boldsymbol{a}}_{n}^{T} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{1} & \boldsymbol{a}_{2} & \cdots & \boldsymbol{a}_{n}\end{array}\right)\right)_{i,j}\\ & =\left(\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}_{1}^{*}\\ \boldsymbol{a}_{2}^{*}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_{n}^{*} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{1} & \boldsymbol{a}_{2} & \cdots & \boldsymbol{a}_{n}\end{array}\right)\right)_{i,j}\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{1}^{*}\boldsymbol{a}_{1} & \boldsymbol{a}_{1}^{*}\boldsymbol{a}_{2} & \cdots & \boldsymbol{a}_{1}^{*}\boldsymbol{a}_{n}\\ \boldsymbol{a}_{2}^{*}\boldsymbol{a}_{1} & \boldsymbol{a}_{2}^{*}\boldsymbol{a}_{2} & \cdots & \boldsymbol{a}_{2}^{*}\boldsymbol{a}_{n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \boldsymbol{a}_{n}^{*}\boldsymbol{a}_{1} & \boldsymbol{a}_{n}^{*}\boldsymbol{a}_{2} & \cdots & \boldsymbol{a}_{n}^{*}\boldsymbol{a}_{n} \end{array}\right)_{i,j}\\ & =\boldsymbol{a}_{i}^{*}\boldsymbol{a}_{j}\\ & =\overline{\boldsymbol{a}_{i}^{T}\overline{\boldsymbol{a}_{j}}}\\ & =\overline{\left\langle \boldsymbol{a}_{i},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle }\\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{i},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\left\langle \boldsymbol{a}_{i},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle =\delta_{i,j}\)のとき、
\begin{align*} \left(U^{*}U\right)_{i,j} & =\left(\left(\begin{array}{c} \overline{\boldsymbol{a}}_{1}^{T}\\ \overline{\boldsymbol{a}}_{2}^{T}\\ \vdots\\ \overline{\boldsymbol{a}}_{n}^{T} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{1} & \boldsymbol{a}_{2} & \cdots & \boldsymbol{a}_{n}\end{array}\right)\right)_{i,j}\\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{i},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle \\ & =\delta_{i,j} \end{align*} となるので、\(U^{*}=U^{-1}\)となり\(U\)はユニタリ行列となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(12)

実ユニタリ行列\(U\)があるとき、\(U^{T}=\overline{U^{T}}=U^{*}=U^{-1}\)となるので直交行列になる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ \left(\begin{array}{cc} \sqrt{2} & i\\ i & -\sqrt{2} \end{array}\right) \] は直交行列であるが実ユニタリ行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。