行列の相似は同値関係

反射律

\(A=I^{-1}AI\)なので\(A\sim A\)となり反射律を満たす。

対称律

\(A\sim B\)のときある正則行列\(P\)が存在し\(B=P^{-1}AP\)となるので左から\(P\)右から\(P^{-1}\)を掛けると、\(A=PBP^{-1}=\left(P^{-1}\right)^{-1}BP^{-1}\)となるので\(B\sim A\)となる。
従って対称律を満たす。

推移律

\(A\sim B\land B\sim C\)のとき\(B=P_{1}^{-1}AP_{1},C=P_{2}^{-1}BP_{2}\)となるので\(C=P_{2}^{-1}BP_{2}=P_{2}^{-1}P_{1}^{-1}AP_{1}P_{2}=\left(P_{1}P_{2}\right)^{-1}A\left(P_{1}P_{2}\right)\)となり\(A\sim C\)となる。
従って推移律を満たす。

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これらより、反射律・対称律・推移律を満たすので同値関係を満たす。