連立1次方程式と拡大係数行列の定義と性質
連立1次方程式と拡大係数行列の定義と性質
拡大係数行列の定義
連立1次方程式
\[ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{cases} \] は、行列を使うと、
\[ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{m} \end{array}\right) \] となるので\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)と表すことができる。
このとき、
\[ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right) \] を係数行列といい、
\[ \left(A,\boldsymbol{b}\right)=\left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array}\right) \] を拡大係数行列という。
拡大係数行列の性質
\(A\)を\(m\times n\)行列、\(\boldsymbol{b}\in\mathbb{C}^{m}\)とすると次が成り立つ。
また\(n\leq m\)でなければいけない。
拡大係数行列の定義
連立1次方程式
\[ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{cases} \] は、行列を使うと、
\[ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{m} \end{array}\right) \] となるので\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)と表すことができる。
このとき、
\[ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right) \] を係数行列といい、
\[ \left(A,\boldsymbol{b}\right)=\left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array}\right) \] を拡大係数行列という。
拡大係数行列の性質
\(A\)を\(m\times n\)行列、\(\boldsymbol{b}\in\mathbb{C}^{m}\)とすると次が成り立つ。
(1)
連立1次方程式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)が解をもつことと、\(\rank\left(A\right)=\rank\left(A,\boldsymbol{b}\right)\)となることは同値である。(2)
連立1次方程式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)が唯1つの解\(\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}\)をもつことと、\(\rank\left(A\right)=\rank\left(A,\boldsymbol{b}\right)=n\)となることは同値である。また\(n\leq m\)でなければいけない。
(1)
\(\Rightarrow\)
\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)が解をもつとき、列ベクトルを使って\(A=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\)と表すと、連立1次方程式は\(\boldsymbol{a}_{1}x_{1}+\boldsymbol{a}_{2}x_{2}+\cdots+\boldsymbol{a}_{n}x_{n}=\boldsymbol{b}\)となるので\(\boldsymbol{b}\)は\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},,\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)の1次結合で表される。従って、\(A\)のランクと\(A\)に\(\boldsymbol{b}\)を追加した\(\left(A,\boldsymbol{b}\right)\)のランクは等しくなるので\(\rank\left(A\right)=\rank\left(A,\boldsymbol{b}\right)\)となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
\(A\)の列ベクトル\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)から\(\rank A\)個の1次独立な列ベクトルを選べて、\(\rank\left(A\right)=\rank\left(A,\boldsymbol{b}\right)\)であるので\(\boldsymbol{b}\)は選んだ\(\rank A\)個の列ベクトルの1次結合で表すことができる。これより、列ベクトルを使って\(\boldsymbol{a}_{1}x_{1}+\boldsymbol{a}_{2}x_{2}+\cdots+\boldsymbol{a}_{n}x_{n}=\boldsymbol{b}\)となる\(\boldsymbol{x}=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\)が存在するので\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)は解をもつ。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。(2)
\(\Rightarrow\)
\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)が唯1つの解をもつので、\(\boldsymbol{a}_{1}x_{1}+\boldsymbol{a}_{2}x_{2}+\cdots+\boldsymbol{a}_{n}x_{n}=\boldsymbol{b}\)となる\(\boldsymbol{x}\)は唯1つである。ここで、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)が1次独立でないと仮定する。
このとき、\(\boldsymbol{a}_{1}c_{1}+\boldsymbol{a}_{2}c_{2}+\cdots+\boldsymbol{a}_{n}c_{n}=0\)を満たす、\(\left(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\right)\ne0\)が存在するが、\(\boldsymbol{a}_{1}\left(x_{1}+c_{1}\right)+\boldsymbol{a}_{2}\left(x_{2}+c_{2}\right)+\cdots+\boldsymbol{a}_{n}\left(x_{n}+c_{n}\right)=\boldsymbol{b}\)となるので、\(\boldsymbol{x}'=\left(x_{1}+c_{1},x_{2}+c_{2},\cdots,x_{n}+c_{n}\right)\)も解となり解が唯1つであることに反する。
従って、背理法より、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)は1次独立となる。
これより、\(\rank\left(A\right)=n\) となり、\(b\)は\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)の1次結合で表されるので、\(\rank\left(A,\boldsymbol{b}\right)=n\)となる。
故に\(\rank\left(A\right)=\rank\left(A,\boldsymbol{b}\right)=n\)となり、\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}\)となる\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の2つの解が存在すると仮定する。このとき、\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b}\)を満たすので、これを辺々引くと、\(A\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)=0\)となり、\(\boldsymbol{a}_{1}\left(x_{1}-y_{1}\right)+\boldsymbol{a}_{2}\left(x_{2}-y_{2}\right)+\cdots+\boldsymbol{a}_{n}\left(x_{n}-y_{n}\right)=0\)となる。
条件より、\(\rank\left(A\right)=n\)なので、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\)は1次独立となり、\(x_{1}-y_{1}=0,x_{2}-y_{2}=0,\cdots,x_{n}-y_{n}=0\)となるので、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となり、\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}\)ではないので矛盾。
従って、背理法より解は唯1つとなる。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。-
解が唯1つであるならば、\(n\leq m\)でなければいけないことの証明\(m<n\)であると仮定する。
行列\(A\)は\(m\times n\)行列なので\(\rank A\leq\min\left(m,n\right)\leq m<n\)となり、\(\rank A\ne n\)となるので解は唯1つではないことになり矛盾。
従って、背理法より、解が唯1つであるならば\(n\leq m\)となる。
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| タイトル | 連立1次方程式と拡大係数行列の定義と性質 |
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同次連立1次方程式の定義と性質
\[
A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\]
(*)階数の性質
\[
\rank\left(AB\right)\leq\min\left(\rank\left(A\right),\rank\left(B\right)\right)
\]
行列の簡約化と階数(ランク)の定義
\[
\rank\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=2
\]
主成分・階段行列・簡約行列の定義
\[
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]