クラメルの公式
クラメルの公式
連立1次方程式
\[ \begin{cases} a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots+a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\ a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots+a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots\\ a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\cdots+a_{n,n}x_{n}=b_{n} \end{cases} \] は
\begin{align*} A & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{12} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \cdots & \cdots & \ddots & \cdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right) \end{align*} \[ \boldsymbol{x}=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T} \] \[ \boldsymbol{b}=\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)^{T} \] とおくと、
\[ A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \] と表され、\(A\)が正則であるとき解は
\[ x_{i}=\frac{\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)}{\det\left(A\right)} \] となる。
連立1次方程式
\[ \begin{cases} a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots+a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\ a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots+a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots\\ a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\cdots+a_{n,n}x_{n}=b_{n} \end{cases} \] は
\begin{align*} A & =\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{12} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \cdots & \cdots & \ddots & \cdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right) \end{align*} \[ \boldsymbol{x}=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T} \] \[ \boldsymbol{b}=\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)^{T} \] とおくと、
\[ A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \] と表され、\(A\)が正則であるとき解は
\[ x_{i}=\frac{\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)}{\det\left(A\right)} \] となる。
連立1次方程式をクラメルの公式を使って解く。
\[ \begin{cases} x+y+z=2\\ x+2y+z=1\\ x+2y+2z=3 \end{cases} \] この連立1次方程式を行列を用いて表すと、
\[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 3 \end{array}\right) \] となるので解は
\begin{align*} x & =\left(\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\right)^{-1}\det\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right)\\ & =1^{-1}\cdot1\\ & =1 \end{align*} \begin{align*} y & =\left(\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\right)^{-1}\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right)\\ & =1^{-1}\cdot\left(-1\right)\\ & =-1 \end{align*} \begin{align*} z & =\left(\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\right)^{-1}\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right)\\ & =1^{-1}\cdot2\\ & =2 \end{align*} となるので、解は\(\left(x,y,z\right)=\left(1,-1,2\right)\)となる。
\[ \begin{cases} x+y+z=2\\ x+2y+z=1\\ x+2y+2z=3 \end{cases} \] この連立1次方程式を行列を用いて表すと、
\[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 3 \end{array}\right) \] となるので解は
\begin{align*} x & =\left(\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\right)^{-1}\det\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right)\\ & =1^{-1}\cdot1\\ & =1 \end{align*} \begin{align*} y & =\left(\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\right)^{-1}\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right)\\ & =1^{-1}\cdot\left(-1\right)\\ & =-1 \end{align*} \begin{align*} z & =\left(\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\right)^{-1}\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right)\\ & =1^{-1}\cdot2\\ & =2 \end{align*} となるので、解は\(\left(x,y,z\right)=\left(1,-1,2\right)\)となる。
行列\(A\)は行ベクトル\(\left\{ \boldsymbol{a}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)を使うと\(A=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\)と表せる。
このとき元の連立方程式は
\begin{align*} \boldsymbol{b} & =A\boldsymbol{x}\\ & =\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k}x_{k} \end{align*} となるので、
\begin{align*} x_{i} & =\frac{1}{\det\left(A\right)}x_{i}\det\left(A\right)\\ & =\frac{1}{\det\left(A\right)}x_{i}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{a}_{i},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =\frac{1}{\det\left(A\right)}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},x_{i}\boldsymbol{a}_{i},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =\frac{1}{\det\left(A\right)}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =\frac{1}{\det\left(A\right)}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},A\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =\frac{1}{\det\left(A\right)}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right) \end{align*} となり、題意は成り立つ。
このとき元の連立方程式は
\begin{align*} \boldsymbol{b} & =A\boldsymbol{x}\\ & =\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k}x_{k} \end{align*} となるので、
\begin{align*} x_{i} & =\frac{1}{\det\left(A\right)}x_{i}\det\left(A\right)\\ & =\frac{1}{\det\left(A\right)}x_{i}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{a}_{i},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =\frac{1}{\det\left(A\right)}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},x_{i}\boldsymbol{a}_{i},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =\frac{1}{\det\left(A\right)}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =\frac{1}{\det\left(A\right)}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},A\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =\frac{1}{\det\left(A\right)}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right) \end{align*} となり、題意は成り立つ。
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余因子行列の性質
\[
\adj\left(AB\right)=\adj\left(B\right)\adj\left(A\right)
\]
色々な行列の定義
\[
M_{n}\left(K\right)
\]
行列式の基本性質
\[
\det\left(\boldsymbol{a}_{\sigma\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\sigma\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\sigma\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\sigma\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)
\]
行列の相似・同値と相似変換の定義
\[
B=P^{-1}AP
\]