行列式・余因子行列・トレースの定義
行列式・余因子行列・トレースの定義
行列式・余因子行列・トレースを次で定義する。
\[ \det A=\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)a_{1,\sigma\left(1\right)}a_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots a_{n,\sigma\left(n\right)} \] を行列式という。
ここで\(S_{n}\)は\(n\)次対称群である。
\(A\)の行列式は\(\det A,\left|A\right|\)などで表す。
すなわち、
\[ M_{ij}=\left(\begin{array}{cccccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i-i,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right) \] となる。
この\(M_{i,j}\)の行列式\(\det\left(M_{i,j}\right)\)に\(\left(-1\right)^{i+j}\)を掛けたものを\(\left(i,j\right)\)余因子といい、これを転置したものを要素にもつ行列を余因子行列(adjugate
matrix)といい、\(\adj A,\widetilde{A}\)などで表す。
すなわち、
\begin{align*} \left(\adj A\right)_{i,j} & =\left(\left(-1\right)^{i+j}\det\left(M_{i,j}\right)^{T}\right)\\ & =\left(\left(-1\right)^{i+j}\det\left(M_{j,i}\right)\right) \end{align*} となる。
ただし、\(1\times1\)行列\(\left(a\right)\)の余因子行列は
\begin{align*} \adj\left(a\right) & =\begin{cases} \left(1\right) & a\ne0\\ \left(0\right) & a=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} I_{1} & a\ne0\\ O_{1} & a=0 \end{cases} \end{align*} とします。
\(\left(i,j\right)\)余因子は\(\widetilde{a}_{i,j}\)で表すなどで表します。
\[ \tr A=\sum_{k=1}^{n}a_{kk} \] で定義する。
トレースを跡(せき)、対角和ともいう。
行列式・余因子行列・トレースを次で定義する。
(1)行列式
\(n\)次正方行列\(A=\left(a_{ij}\right)\)があるとき、\[ \det A=\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)a_{1,\sigma\left(1\right)}a_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots a_{n,\sigma\left(n\right)} \] を行列式という。
ここで\(S_{n}\)は\(n\)次対称群である。
\(A\)の行列式は\(\det A,\left|A\right|\)などで表す。
(2)余因子行列
\(n\)次正方行列\(A=\left(a_{ij}\right)\)の\(i\)行と\(j\)列を除いた行列を小行列\(M_{ij}\)とする。すなわち、
\[ M_{ij}=\left(\begin{array}{cccccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i-i,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right) \] となる。
この\(M_{i,j}\)の行列式\(\det\left(M_{i,j}\right)\)に\(\left(-1\right)^{i+j}\)を掛けたものを\(\left(i,j\right)\)余因子といい、これを転置したものを要素にもつ行列を余因子行列(adjugate
matrix)といい、\(\adj A,\widetilde{A}\)などで表す。
すなわち、
\begin{align*} \left(\adj A\right)_{i,j} & =\left(\left(-1\right)^{i+j}\det\left(M_{i,j}\right)^{T}\right)\\ & =\left(\left(-1\right)^{i+j}\det\left(M_{j,i}\right)\right) \end{align*} となる。
ただし、\(1\times1\)行列\(\left(a\right)\)の余因子行列は
\begin{align*} \adj\left(a\right) & =\begin{cases} \left(1\right) & a\ne0\\ \left(0\right) & a=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} I_{1} & a\ne0\\ O_{1} & a=0 \end{cases} \end{align*} とします。
\(\left(i,j\right)\)余因子は\(\widetilde{a}_{i,j}\)で表すなどで表します。
(3)トレースの定義
\(n\)次正方行列\(A=\left(a_{ij}\right)\)があるとき行列\(A\)のトレースを\[ \tr A=\sum_{k=1}^{n}a_{kk} \] で定義する。
トレースを跡(せき)、対角和ともいう。
\(1\times1\)行列
\(1\times1\)行列\[ A=\left(a\right) \] の行列式と余因子行列は定義より次のようになる。
\[ \det\left(A\right)=a \] \[ \adj A=\begin{cases} \left(1\right) & a\ne0\\ \left(0\right) & a=0 \end{cases} \]
\(2\times2\)行列
\(2\times2\)行列\[ A=\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array}\right) \] の行列式と余因子行列は次のようになる。
\begin{align*} \det\left(A\right) & =\sum_{\sigma\in S_{2}}\sgn\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ \sigma\left(1\right) & \sigma\left(2\right) \end{array}\right)a_{1,\sigma\left(1\right)}a_{2,\sigma\left(2\right)}\\ & =\sgn\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 2 \end{array}\right)a_{1,1}a_{2,2}+\sgn\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{array}\right)a_{1,2}a_{2,1}\\ & =\sgn\left(1\right)a_{1,1}a_{2,2}+\sgn\left(1,2\right)a_{1,2}a_{2,1}\\ & =a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1} \end{align*} \begin{align*} \adj A & =\adj\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(-1\right)^{2}\det\left(a_{2,2}\right) & \left(-1\right)^{1+2}\det\left(a_{2,1}\right)\\ \left(-1\right)^{2+1}\det\left(a_{1,2}\right) & \left(-1\right)^{2+2}\det\left(a_{1,1}\right) \end{array}\right)^{T}\\ & =\left(\begin{array}{cc} a_{2,2} & -a_{1,2}\\ -a_{2,1} & a_{1,1} \end{array}\right) \end{align*}
\(3\times3\)行列
\(3\times3\)行列\[ A=\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{2,3} & a_{3,3} \end{array}\right) \] の行列式と余因子行列は次のようになる。
\begin{align*} \det\left(A\right) & =\sum_{\sigma\in S_{3}}\sgn\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ \sigma\left(1\right) & \sigma\left(2\right) & \sigma\left(3\right) \end{array}\right)a_{1,\sigma\left(1\right)}a_{2,\sigma\left(2\right)}a_{3,\sigma\left(3\right)}\\ & =\sgn\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right)a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+\sgn\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right)a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}+\sgn\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+\sgn\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}+\sgn\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right)a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}+\sgn\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}\\ & =\sgn\left(I\right)a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+\sgn\left(2,3\right)a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}+\sgn\left(\left(1,2\right)\left(2,3\right)\right)a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+\sgn\left(1,2\right)a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}+\sgn\left(\left(1,3\right)\left(3,2\right)\right)a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}+\sgn\left(1,3\right)a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}\\ & =a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} \end{align*} \begin{align*} \adj A & =\adj\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} \left(-1\right)^{1+1}\det\left(\begin{array}{cc} a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{array}\right) & \left(-1\right)^{1+2}\det\left(\begin{array}{cc} a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{array}\right) & \left(-1\right)^{1+3}\det\left(\begin{array}{cc} a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{array}\right)\\ \left(-1\right)^{2+1}\det\left(\begin{array}{cc} a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{array}\right) & \left(-1\right)^{2+2}\det\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{array}\right) & \left(-1\right)^{2+3}\det\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{array}\right)\\ \left(-1\right)^{3+1}\det\left(\begin{array}{cc} a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,2} & a_{2,3} \end{array}\right) & \left(-1\right)^{3+2}\det\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,3} \end{array}\right) & \left(-1\right)^{3+3}\det\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array}\right) \end{array}\right)^{T}\\ & =\left(\begin{array}{ccc} \det\left(\begin{array}{cc} a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{array}\right) & -\det\left(\begin{array}{cc} a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{array}\right) & \det\left(\begin{array}{cc} a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,2} & a_{2,3} \end{array}\right)\\ -\det\left(\begin{array}{cc} a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{array}\right) & \det\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{array}\right) & -\det\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,3} \end{array}\right)\\ \det\left(\begin{array}{cc} a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{array}\right) & -\det\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{array}\right) & \det\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array}\right) \end{array}\right) \end{align*}
行列式と余因子行列の例
\begin{align*} A & =\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{2,1}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right) \end{align*} とすると、行列式と余因子行列は\begin{align*} \det A & =\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right)\\ & =\sgn\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 2 \end{array}\right)a_{1,1}a_{2,2}+\sgn\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{array}\right)a_{1,2}a_{2,1}\\ & =\sgn\left(I\right)1\cdot4+\sgn\left(1,2\right)2\cdot3\\ & =4-6\\ & =-2 \end{align*} \begin{align*} \adj A & =\adj\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(-1\right)^{2}\det\left(4\right) & \left(-1\right)^{1+2}\det\left(2\right)\\ \left(-1\right)^{2+1}\det\left(3\right) & \left(-1\right)^{2+2}\det\left(1\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | 行列式・余因子行列・トレースの定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wznarioy/ |
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余因子展開と逆行列
\[
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\adj A
\]
クロネッカー積の性質
\[
\left(A\otimes B\right)\left(C\otimes D\right)=\left(AC\right)\otimes\left(BD\right)
\]
vec作用素の性質
\[
\mathrm{vec}\left(ABC\right)=\left(C^{T}\otimes A\right)\mathrm{vec}\left(B\right)
\]
行列の指数関数の定義
\[
\exp\left(A\right)=\sum_{k-0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!}
\]