置換行列の定義
置換\(\sigma:\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \rightarrow\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)を
\[ \sigma=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n\\ \sigma\left(1\right) & \sigma\left(2\right) & \cdots & \sigma\left(n\right) \end{array}\right) \] として、行ベクトル\(\boldsymbol{e}_{j}\)を\(j\)番目の成分が1、それ以外を0としたとき、すなわち\(\left(\boldsymbol{e}_{j}\right)_{k}=\delta_{j,k}\)としたとき、列ベクトル
\begin{align*} P_{\sigma} & =\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{e}_{\sigma\left(1\right)}\\ \boldsymbol{e}_{\sigma\left(2\right)}\\ \vdots\\ \boldsymbol{e}_{\sigma\left(n\right)} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \delta_{1,\sigma\left(1\right)} & \delta_{2,\sigma\left(1\right)} & \cdots & \delta_{n,\sigma\left(1\right)}\\ \delta_{1,\sigma\left(2\right)} & \delta_{2,\sigma\left(2\right)} & \cdots & \delta_{n,\sigma\left(2\right)}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \delta_{1,\sigma\left(n\right)} & \delta_{2,\sigma\left(n\right)} & \cdots & \delta_{n,\sigma\left(n\right)} \end{array}\right) \end{align*} \(\left(i,j\right)\)成分では、
\[ \left(P_{\sigma}\right)_{i,j}=\delta_{j,\sigma\left(i\right)} \] を列ベクトルに作用する置換行列という。
同様に、列ベクトル\(\boldsymbol{e}_{j}\)を\(j\)番目の成分が1、それ以外を0としたとき、すなわち\(\left(\boldsymbol{e}_{j}\right)_{k}=\delta_{j,k}\)としたとき、行ベクトル
\begin{align*} Q_{\sigma} & =\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{e}_{\sigma\left(1\right)} & \boldsymbol{e}_{\sigma\left(2\right)} & \cdots & \boldsymbol{e}_{\sigma\left(n\right)}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \delta_{1,\sigma\left(1\right)} & \delta_{1,\sigma\left(2\right)} & \cdots & \delta_{1,\sigma\left(n\right)}\\ \delta_{2,\sigma\left(1\right)} & \delta_{2,\sigma\left(2\right)} & \cdots & \delta_{2,\sigma\left(n\right)}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \delta_{n,\sigma\left(1\right)} & \delta_{n,\sigma\left(2\right)} & \cdots & \delta_{n,\sigma\left(n\right)} \end{array}\right) \end{align*} \(\left(i,j\right)\)成分では、
\[ \left(Q_{\sigma}\right)_{i,j}=\delta_{i,\sigma\left(j\right)} \] を行ベクトルに作用する置換行列という。
これより、\(n\)次正方行列で各行各列に1つだけ要素1があり、その他の要素は全て0になる行列を置換行列という。