行列の指数関数の定義
行列の指数関数の定義
\(n\)次正方行列\(A\)の指数関数\(\exp\left(A\right)\)を
\[ \exp\left(A\right)=\sum_{k-0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!} \] で定義する。
\(A\)の指数関数は\(e^{A}\)でも表される。
\(n\)次正方行列\(A\)の指数関数\(\exp\left(A\right)\)を
\[ \exp\left(A\right)=\sum_{k-0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!} \] で定義する。
\(A\)の指数関数は\(e^{A}\)でも表される。
対角行列の指数関数は
\begin{align*} \exp\left(\mathrm{diag}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}^{k}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\cdots,a_{n}^{k}\right)}{k!}\\ & =\mathrm{diag}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{1}^{k}}{k!},\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{2}^{k}}{k!},\cdots,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{n}^{k}}{k!}\right)\\ & =\mathrm{diag}\left(e^{a_{1}},e^{a_{2}},\cdots,e^{a_{n}}\right) \end{align*} となります。
\begin{align*} \exp\left(\mathrm{diag}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}^{k}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\cdots,a_{n}^{k}\right)}{k!}\\ & =\mathrm{diag}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{1}^{k}}{k!},\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{2}^{k}}{k!},\cdots,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{n}^{k}}{k!}\right)\\ & =\mathrm{diag}\left(e^{a_{1}},e^{a_{2}},\cdots,e^{a_{n}}\right) \end{align*} となります。
行列の指数関数の例
(1)
\begin{align*} \exp\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right) & =\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right)^{k}\\ & =\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2^{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!} & 0\\ 0 & \sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}2^{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} e & 0\\ 0 & e^{2} \end{array}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \exp\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right) & =\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right)^{k}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\right)^{k}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right)^{k}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2^{k} \end{array}\right)\right)\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} e & 0\\ 0 & e^{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 3e-2e^{2} & -2e+2e^{2}\\ 3e-3e^{2} & -2e+3e^{2} \end{array}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 行列の指数関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xa7iv4x0/ |
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行列の定義
\[
A=\left(a_{i,j}\right)
\]
行列の性質
一般的に$AB=BA$は成り立たない。
行列の和とスカラー倍と積・クロネッカー積・アダマール積・vec作用素の定義
\[
\left(AB\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}\left(A\right)_{i,k}\left(B\right)_{k,j}
\]
行列の相似・同値と相似変換の定義
\[
B=P^{-1}AP
\]