行列の指数関数の定義
行列の指数関数の定義
\(n\)次正方行列\(A\)の指数関数\(\exp\left(A\right)\)を
\[ \exp\left(A\right)=\sum_{k-0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!} \] で定義する。
\(A\)の指数関数は\(e^{A}\)でも表される。
\(n\)次正方行列\(A\)の指数関数\(\exp\left(A\right)\)を
\[ \exp\left(A\right)=\sum_{k-0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!} \] で定義する。
\(A\)の指数関数は\(e^{A}\)でも表される。
対角行列の指数関数は
\begin{align*} \exp\left(\mathrm{diag}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}^{k}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\cdots,a_{n}^{k}\right)}{k!}\\ & =\mathrm{diag}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{1}^{k}}{k!},\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{2}^{k}}{k!},\cdots,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{n}^{k}}{k!}\right)\\ & =\mathrm{diag}\left(e^{a_{1}},e^{a_{2}},\cdots,e^{a_{n}}\right) \end{align*} となります。
\begin{align*} \exp\left(\mathrm{diag}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}^{k}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{diag}\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\cdots,a_{n}^{k}\right)}{k!}\\ & =\mathrm{diag}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{1}^{k}}{k!},\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{2}^{k}}{k!},\cdots,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{n}^{k}}{k!}\right)\\ & =\mathrm{diag}\left(e^{a_{1}},e^{a_{2}},\cdots,e^{a_{n}}\right) \end{align*} となります。
行列の指数関数の例
(1)
\begin{align*} \exp\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right) & =\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right)^{k}\\ & =\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2^{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!} & 0\\ 0 & \sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}2^{k} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} e & 0\\ 0 & e^{2} \end{array}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \exp\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right) & =\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right)^{k}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\right)^{k}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right)^{k}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\sum_{k-0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2^{k} \end{array}\right)\right)\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} e & 0\\ 0 & e^{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 3e-2e^{2} & -2e+2e^{2}\\ 3e-3e^{2} & -2e+3e^{2} \end{array}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 行列の指数関数の定義 |
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行列を挟んでいる場合の解
\[
XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}
\]
Woodburyの恒等式
\[
\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}
\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
巡回行列の定義と性質
\[
C=\left(\begin{array}{cccccc}
x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\
x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\
x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}
\end{array}\right)
\]