3角形・双心4角形の内接円の中心と外接円の中心の距離の関係
3角形・双心4角形の内接円の中心と外接円の中心の距離の関係
3角形・双心4角形の内接円の半径を\(r\)、外接円の半径を\(R\)として内接円と外接円の中心の距離\(d\)とする。
\[ \frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r} \]
\[ 2r^{2}\left(R^{2}+d^{2}\right)=\left(R^{2}-d^{2}\right)^{2} \] \[ \frac{1}{\left(R-d\right)^{2}}+\frac{1}{\left(R+d\right)^{2}}=\frac{1}{r^{2}} \]
3角形・双心4角形の内接円の半径を\(r\)、外接円の半径を\(R\)として内接円と外接円の中心の距離\(d\)とする。
(1)3角形
3角形は次の関係がある。\[ \frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r} \]
(2)双心4角形
双心4角形は次の関係がある。\[ 2r^{2}\left(R^{2}+d^{2}\right)=\left(R^{2}-d^{2}\right)^{2} \] \[ \frac{1}{\left(R-d\right)^{2}}+\frac{1}{\left(R+d\right)^{2}}=\frac{1}{r^{2}} \]
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外接円と内接円が存在する4角形を双心4角形という。4角形の場合は内接円と外接円が常に存在するとは限らないので双心4角形のときとなります。
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\(2r^{2}\left(R^{2}+d^{2}\right)=\left(R^{2}-d^{2}\right)^{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(R-d\right)^{2}}+\frac{1}{\left(R+d\right)^{2}}=\frac{1}{r^{2}}\)の証明\[ 2r^{2}\left(R^{2}+d^{2}\right)=2r^{2}\left(R+d\right)^{2}-4Rdr^{2} \] となるので、
\[ \left(R+d\right)^{2}\left(R-d\right)^{2}=2r^{2}\left(R+d\right)^{2}-4Rdr^{2} \] となり、両辺\(\left(R+d\right)^{2}\left(R-d\right)^{2}r^{2}\)で割ると、
\begin{align*} \frac{1}{r^{2}} & =\frac{2}{\left(R-d\right)^{2}}-\frac{4Rd}{\left(R-d\right)^{2}\left(R+d\right)^{2}}\\ & =\frac{2}{\left(R-d\right)^{2}}-\left(\frac{1}{\left(R-d\right)^{2}}-\frac{1}{\left(R+d\right)^{2}}\right)\\ & =\frac{1}{\left(R-d\right)^{2}}+\frac{1}{\left(R+d\right)^{2}} \end{align*} となる。
(1)
チャップル・オイラーの定理より、\[ d^{2}=R^{2}-2Rr \] なので、
\begin{align*} 2Rr & =R^{2}-d^{2}\\ & =\left(R-d\right)\left(R+d\right) \end{align*} となるので両辺を\(r\left(R-d\right)\left(R+d\right)\)で割ると、
\begin{align*} \frac{1}{r} & =\frac{2R}{\left(R-d\right)\left(R+d\right)}\\ & =\frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d} \end{align*} となり与式は成り立つ。
(2)
略
ページ情報
| タイトル | 3角形・双心4角形の内接円の中心と外接円の中心の距離の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/z3uzfl1n/ |
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トレミーの定理
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right|
\]
5心と頂点までの距離
\[
\left|AG\right|^{2}=\frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{9}
\]
傍心円の半径
\[
r_{a}=\frac{S}{s-a}
\]
円周角の定理とその逆とタレスの定理
\[
\angle BOA=2\angle BPA
\]