円に内接する4角形の対角の和

by nomura · 2025年9月25日

円に内接する4角形の対角の和
点$J$を中心とする円$J$に内接する4角形$ABCD$があるとき、対角の和は$180^{\circ}$となる。
また、逆も成り立つ。
すなわち、4角形$ABCD$の対角の和が$180^{\circ}$になるときある円が存在し内接している。

$\Rightarrow$

反時計回りに4角形$ABCD$をとる。
円周角の定理より、
\begin{align*} \angle DAB & =\frac{1}{2}\angle DOB\\ & =\frac{1}{2}\left(2\pi-\angle BOD\right)\\ & =\pi-\frac{1}{2}\angle BOD\\ & =\pi-\angle BCD \end{align*} となるので
\[ \angle DAB+\angle BCD=\pi \] となる。
また、$\angle ABC+\angle CDA=\pi$も同様に成り立つ。
故に題意は成り立つ。

$\Leftarrow$

反時計回りに4角形$ABCD$をとる。
対角の和が$180^{\circ}$なので$\angle BCD=\pi-\angle DAB$となる。
3角形$DAB$には中心$J$の外接円$J$がある。
このとき弧$BD$上に点$C'$をとると、$\angle BC'D=\pi-\angle DAB=\angle BCD$となる。
従って円周角の定理の逆より、$C$も外接円$J$上にあるので$A,B,C,D$は円$J$上にある。
故に題意は成り立つ。