逆3角関数の積の積分
逆3角関数の積の積分
次の逆3角関数の積の積分を求めよ。
\[ \int\sin^{\bullet}x\cos^{\bullet}xdx=? \]
次の逆3角関数の積の積分を求めよ。
\[ \int\sin^{\bullet}x\cos^{\bullet}xdx=? \]
\begin{align*}
\int\sin^{\bullet}x\cos^{\bullet}xdx & =x\sin^{\bullet}x\cos^{\bullet}x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\left(\cos^{\bullet}x-\sin^{\bullet}x\right)dx\\
& =x\sin^{\bullet}x\cos^{\bullet}x+\sqrt{1-x^{2}}\left(\cos^{\bullet}x-\sin^{\bullet}x\right)+\int\sqrt{1-x^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)dx\\
& =x\sin^{\bullet}x\cos^{\bullet}x+\sqrt{1-x^{2}}\left(\cos^{\bullet}x-\sin^{\bullet}x\right)+2x+C
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 逆3角関数の積の積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ogvicfq0/ |
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ガンマ関数を2つ含む定積分でカタラン定数が出てきます
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\Gamma\left(1-x\right)\Gamma\left(1+x\right)dx=?
\]
床関数の総和の2乗の定積分
\[
\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left\lfloor 2^{k}x\right\rfloor }{3^{k}}\right)^{2}dx=?
\]
対数のルート積分
\[
\int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C
\]
床関数を含む積分です
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left\lfloor \tan x\right\rfloor }{\tan x}dx=?
\]