ディリクレの判定法
ディリクレの判定法
単調減少な実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)と複素数列\(\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があり\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\)で、任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し部分和\(\sum_{k=1}^{n}b_{k}\)が有界であるとき、級数\(\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}b_{k}\)は収束する。
単調減少な実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)と複素数列\(\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があり\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\)で、任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し部分和\(\sum_{k=1}^{n}b_{k}\)が有界であるとき、級数\(\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}b_{k}\)は収束する。
\(a_{n}\)を\(-a_{n}\)とすると単調増加になるので、単調増加な実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)でも成り立つ。
=\(a_{n}=\frac{1}{n},b_{n}=\left(-1\right)^{n+1}\)とすると、\(a_{n}\)は単調減少であり、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\)で任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し部分和\(\sum_{k=1}^{n}b_{k}\)が有界であるので級数\(\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}b_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\)は収束する。
この値は\(\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}=\log2\)である。
この値は\(\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}=\log2\)である。
\[
A_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}
\]
\[
B_{n}=\sum_{k=1}^{n}b_{k}
\]
\[
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}
\]
とおく。
任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し部分和\(\sum_{k=1}^{n}b_{k}\)が有界なので、ある\(M\)が存在し、\(\left|\sum_{k=1}^{n}b_{k}\right|<M\)となる。
これより、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{k}b_{k}\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}b_{k}\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\left(B_{k}-B_{k-1}\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\sum_{k=1}^{n}a_{k}B_{k}-\sum_{k=1}^{n}a_{k}B_{k-1}\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_{n}B_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}B_{k}\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_{n}B_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1}B_{k}\right|\cmt{\because B_{0}=0}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_{n}B_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\left(a_{k}-a_{k+1}\right)B_{k}\right)\right|\\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \left|a_{n}B_{n}\right|+\sum_{k=1}^{n-1}\left|\left(a_{k}-a_{k+1}\right)B_{k}\right|\right\} \\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ a_{n}M+\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{k}-a_{k+1}\right)M\right\} \\ & =M\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ a_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{k}-a_{k+1}\right)\right\} \\ & =M\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ a_{n}+a_{1}-a_{n}\right\} \\ & =Ma_{1} \end{align*} となり、\(\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}b_{k}\)は絶対収束するので収束する。
故に題意は成り立つ。
任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し部分和\(\sum_{k=1}^{n}b_{k}\)が有界なので、ある\(M\)が存在し、\(\left|\sum_{k=1}^{n}b_{k}\right|<M\)となる。
これより、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{k}b_{k}\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}b_{k}\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\left(B_{k}-B_{k-1}\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\sum_{k=1}^{n}a_{k}B_{k}-\sum_{k=1}^{n}a_{k}B_{k-1}\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_{n}B_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}B_{k}\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_{n}B_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1}B_{k}\right|\cmt{\because B_{0}=0}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_{n}B_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\left(a_{k}-a_{k+1}\right)B_{k}\right)\right|\\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \left|a_{n}B_{n}\right|+\sum_{k=1}^{n-1}\left|\left(a_{k}-a_{k+1}\right)B_{k}\right|\right\} \\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ a_{n}M+\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{k}-a_{k+1}\right)M\right\} \\ & =M\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ a_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{k}-a_{k+1}\right)\right\} \\ & =M\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ a_{n}+a_{1}-a_{n}\right\} \\ & =Ma_{1} \end{align*} となり、\(\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}b_{k}\)は絶対収束するので収束する。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ディリクレの判定法 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vn5ddzu0/ |
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上極限・下極限は存在
実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
\[
\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases}
c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\
c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\
0 & c=0
\end{cases}
\]
収束列ならばコーシー列
収束列ならばコーシー列となるが逆は一般に成り立たない。