ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
ベータ関数\(B\left(\alpha,\beta\right)\)と不完全ベータ関数\(B\left(z;\alpha,\beta\right)\)には次の関係がある。
\[ B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right) \]
ベータ関数\(B\left(\alpha,\beta\right)\)と不完全ベータ関数\(B\left(z;\alpha,\beta\right)\)には次の関係がある。
\[ B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right) \]
\begin{align*}
B\left(\alpha,\beta\right) & =\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt\\
& =\int_{0}^{z}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt+\int_{z}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt\\
& =\int_{0}^{z}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt+\int_{0}^{1-z}\left(1-t\right)^{\alpha-1}t^{\beta-1}dt\\
& =B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ベータ関数と不完全ベータ関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/qvb6q0ct/ |
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２項係数とベータ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{C(y-1,-x)\pi}{\sin(\pi x)}
\]
ベータ関数の絶対収束条件
ベータ関数$B\left(p,q\right)$は$\Re\left(p\right)>0\;\land\;\Re\left(q\right)>0$で絶対収束
ベータ関数・不完全ベータ関数の超幾何関数表示
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}F\left(\alpha,1-\beta;\alpha+1;z\right)
\]
不完全ベータ関数の性質
\[
B\left(z;\alpha,1\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}
\]