ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
ベータ関数\(B\left(\alpha,\beta\right)\)と不完全ベータ関数\(B\left(z;\alpha,\beta\right)\)には次の関係がある。
\[ B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right) \]
ベータ関数\(B\left(\alpha,\beta\right)\)と不完全ベータ関数\(B\left(z;\alpha,\beta\right)\)には次の関係がある。
\[ B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right) \]
\begin{align*}
B\left(\alpha,\beta\right) & =\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt\\
& =\int_{0}^{z}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt+\int_{z}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt\\
& =\int_{0}^{z}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt+\int_{0}^{1-z}\left(1-t\right)^{\alpha-1}t^{\beta-1}dt\\
& =B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ベータ関数と不完全ベータ関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/qvb6q0ct/ |
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ベータ関数の微分
\[
\frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\}
\]
ベータ関数と2項係数の逆数の級数表示
\[
B(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C(k-y,k)}{x+k}
\]
ベータ関数・不完全ベータ関数の超幾何関数表示
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}F\left(\alpha,1-\beta;\alpha+1;z\right)
\]
ベータ関数の対称性
\[
B\left(\alpha,\beta\right)=B\left(\beta,\alpha\right)
\]