リーマン・ゼータ関数の微分の極限
リーマン・ゼータ関数の微分の極限
リーマン・ゼータ\(\zeta\left(s\right)\)関数の微分の極限について次が成り立つ。
\[ \lim_{x\rightarrow0}x^{n+1}\zeta^{\left(n\right)}\left(1\pm x\right)=\pm\left(-1\right)^{n}n! \]
リーマン・ゼータ\(\zeta\left(s\right)\)関数の微分の極限について次が成り立つ。
\[ \lim_{x\rightarrow0}x^{n+1}\zeta^{\left(n\right)}\left(1\pm x\right)=\pm\left(-1\right)^{n}n! \]
(1)
\[ \lim_{x\rightarrow0}x\zeta\left(1\pm x\right)=\pm1 \](2)
\[ \lim_{x\rightarrow0}x^{2}\zeta^{\left(1\right)}\left(1\pm x\right)=\mp1 \](3)
\[ \lim_{x\rightarrow0}x^{3}\zeta^{\left(2\right)}\left(1\pm x\right)=\pm2 \](4)
\[ \lim_{x\rightarrow0}x^{4}\zeta^{\left(3\right)}\left(1\pm x\right)=\mp6 \]\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow0}x^{n+1}\zeta^{\left(n\right)}\left(1\pm x\right) & =\lim_{x\rightarrow1}\left(\pm\left(x-1\right)\right)^{n+1}\left(\pm1\right)^{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\zeta\left(x\right)\cmt{1\pm x\rightarrow x}\\
& =\pm\lim_{x\rightarrow1}\left(x-1\right)^{n+1}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(\frac{1}{x-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(x-1\right)^{k}\right)\\
& =\pm\lim_{x\rightarrow1}\left(x-1\right)^{n+1}\left(\frac{P\left(-1,n\right)}{\left(x-1\right)^{n+1}}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}P\left(k,n\right)\gamma_{k}\left(x-1\right)^{k-n}\right)\\
& =\pm\lim_{x\rightarrow1}\left(P\left(-1,n\right)+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}P\left(k,n\right)\gamma_{k}\left(x-1\right)^{k+1}\right)\\
& =\pm P\left(-1,n\right)\\
& =\pm\left(-1\right)^{n}n!
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | リーマン・ゼータ関数の微分の極限 |
| URL | https://www.nomuramath.com/tsklhmai/ |
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ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
\[
\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx
\]
リーマン・ゼータ関数のローラン展開
\[
\zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2}-s\int_{1}^{n}\frac{t-\left\lfloor t\right\rfloor -\frac{1}{2}}{t^{s+1}}dt
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理
\[
n^{s}\zeta\left(s,nz\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(s,z+\frac{k}{n}\right)
\]
すべての自然数の積(解析接続あり)
\[
\prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi}
\]