フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理
フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理
フルヴィッツ・ゼータ関数\(\zeta\left(s,q\right)\)は次の乗法定理を満たす。
フルヴィッツ・ゼータ関数\(\zeta\left(s,q\right)\)は次の乗法定理を満たす。
(1)
\[ n^{s}\zeta\left(s,nz\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(s,z+\frac{k}{n}\right) \](2)
\[ n^{s}\zeta\left(s\right)=\sum_{k=1}^{n}\zeta\left(s,\frac{k}{n}\right) \]-
\(\zeta\left(s\right)\)はリーマン・ゼータ関数\(s=m\in\mathbb{N}\)のときで考える。
(1)
\begin{align*} n^{m}\zeta\left(m,nz\right) & =n^{m}\frac{\left(-1\right)^{m}}{\left(s-1\right)!}\psi^{\left(m-1\right)}\left(nz\right)\cmt{\because\text{ポリガンマ関数の級数表示}}\\ & =n^{m}\frac{\left(-1\right)^{m}}{\left(m-1\right)!}\left\{ \delta_{1m}\log n+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m-1\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right)\right\} \cmt{\because\text{ポリガンマ関数の乗法公式}}\\ & =n^{m}\frac{\left(-1\right)^{m}}{\left(m-1\right)!}\left\{ \delta_{1m}\log n+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{m}\left(s-1\right)!\zeta\left(m,z+\frac{k}{n}\right)\right\} \cmt{\because\text{ポリガンマ関数の級数表示}}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(m,z+\frac{k}{n}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} n^{m}\zeta\left(m\right) & =\left[n^{m}\zeta\left(m,nz\right)\right]_{z=\frac{1}{n}}\\ & =\left[\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(m,z+\frac{k}{n}\right)\right]_{z=\frac{1}{n}}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(m,\frac{k+1}{n}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\zeta\left(m,\frac{k}{n}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ygqhhxxo/ |
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(*)フルヴィッツの公式
\[
\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\}
\]
偶数ゼータの通常型母関数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\zeta(2k)x^{2k}=\frac{1}{2}\left(1-\pi x\tan^{-1}\left(\pi x\right)\right)
\]
ゼータ関数とイータ関数の関係
\[
\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)
\]
フルヴィッツのゼータ関数の定義
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}}
\]