ヘヴィサイド関数と符号
ヘヴィサイド関数と符号
ヘヴィサイド関数\(H_{c}\left(x\right)\)は次を満たす。
ヘヴィサイド関数\(H_{c}\left(x\right)\)は次を満たす。
(1)
\[ H_{c}\left(x\right)f\left(x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\left|x\right|\right) \](2)
\[ H_{c}\left(x\right)f\left(-x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(-\left|x\right|\right) \](3)
\[ H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right) \](4)
\[ H_{c}\left(\pm x\right)f\left(x\right)=H_{c}\left(\pm x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right) \](1)
\begin{align*} H_{c}\left(x\right)f\left(x\right) & =\begin{cases} H_{c}\left(x\right)f\left(\left|x\right|\right) & 0<x\\ H_{c}\left(x\right)f\left(\left|x\right|\right) & x<0 \end{cases}\\ & =H_{c}\left(x\right)f\left(\left|x\right|\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} H_{c}\left(x\right)f\left(-x\right) & =\begin{cases} H_{c}\left(x\right)f\left(-\left|x\right|\right) & 0<x\\ H_{c}\left(x\right)f\left(-\left|x\right|\right) & x<0 \end{cases}\\ & =H_{c}\left(x\right)f\left(-\left|x\right|\right) \end{align*}(3)
(1)(2)より、\[ H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right) \] が成り立つ。
(4)
(3)より、\(H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right)\)で\(x\rightarrow\pm x\)とすると、\[ H_{c}\left(\pm x\right)f\left(x\right)=H_{c}\left(\pm x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right) \] となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ヘヴィサイド関数と符号 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hsna6lsm/ |
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ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz
\]
ヘヴィサイドの階段関数の極限表示
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\tanh\left(kx\right)\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の微分・積分と微分・積分表示
\[
\frac{dH\left(x\right)}{dx}=\delta\left(x\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の関係
\[
H_{a}\left(x\right)=\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2}+\left(a-\frac{1}{2}\right)\delta_{0,x}
\]