3角関数の関数の定積分
3角関数の関数の定積分
次の定積分が成り立つ。
次の定積分が成り立つ。
(1)
\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx \](2)
\[ \int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx \](1)
\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)dx\\ & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx \end{align*}(2)
\begin{align*} \int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx & =\int_{0}^{\pi}\left(\pi-x\right)f\left(\sin\left(\pi-x\right)\right)dx\cmt{x\rightarrow\pi-x}\\ & =\int_{0}^{\pi}\left(\pi-x\right)f\left(\sin x\right)dx\\ & =\pi\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx-\int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx\\ & =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角関数の関数の定積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hotxaiee/ |
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偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
\[
\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+a^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx
\]
微分形接触型積分
\[
\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))
\]
基本関数の微分
\[
\left(a^{x}\right)'=a^{x}\log a
\]
xDの冪乗の性質
\[
\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}e^{x}=e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k}
\]