集合が同じで位相が異なる空間

by nomura · 2024年7月5日

集合が同じで位相が異なる空間
同じ集合で位相が異なる位相空間$\left(X,\mathcal{O}_{1}\right),\left(X,\mathcal{O}_{2}\right)$がある。

(1)

$\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}$は位相、すなわち$\left(X,\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\right)$は位相空間となる。

(2)

$\mathcal{O}_{1}\cup\mathcal{O}_{2}$は一般的に位相とならない。

(1)

$\mathcal{O}_{1}$にも$\mathcal{O}_{2}$にも空集合$\emptyset$と全体集合$X$が含まれているので、$\emptyset,X\in$$\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}$となる。
$O_{1},O_{2}\in$$\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}$とすると、$O_{1},O_{2}\in$$\mathcal{O}_{1}$なので$O_{1}\cap O_{2}\in$$\mathcal{O}_{1}$となり、同様に$O_{1}\cap O_{2}\in$$\mathcal{O}_{2}$となるので$O_{1}\cap O_{2}\in$$\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}$となる。
$\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}$とすると、$\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}$なので$\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}$となり、同様に$\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{2}$となり、$\bigcup\mathcal{O}\in$$\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}$となる。
これらより、位相であるための条件を満たしているので$\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}$は位相となる。

(2)

反例で示す。
2つの位相空間を$\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right),\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)$とすると、$\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \cup\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} =\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} $となるが、$\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ b,c\right\} =\left\{ b\right\} $が位相に入っていない。
故に$\mathcal{O}_{1}\cup\mathcal{O}_{2}$は一般的に位相とならない。