(1)

\(\mathcal{O}_{1}\)にも\(\mathcal{O}_{2}\)にも空集合\(\emptyset\)と全体集合\(X\)が含まれているので、\(\emptyset,X\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。
\(O_{1},O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)とすると、\(O_{1},O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\)なので\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\)となり、同様に\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{2}\)となるので\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。
\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)とすると、\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\)なので\(\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\)となり、同様に\(\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{2}\)となり、\(\bigcup\mathcal{O}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。
これらより、位相であるための条件を満たしているので\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)は位相となる。

(2)

反例で示す。
2つの位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right),\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とすると、\(\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \cup\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} =\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となるが、\(\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ b,c\right\} =\left\{ b\right\} \)が位相に入っていない。
故に\(\mathcal{O}_{1}\cup\mathcal{O}_{2}\)は一般的に位相とならない。