無限集合は可算無限部分集合をもつ
無限集合は可算無限部分集合をもつ。
ただし選択公理を認めるとする。
無限集合は可算無限部分集合をもつ。
ただし選択公理を認めるとする。
無限集合を\(A\)とする。
このとき選択公理より\(a_{n}\)を\(a_{n}\in A\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}\left\{ a_{k}\right\} \)と選ぶと、\(\left\{ a_{1},a_{2},\cdots\right\} =\left\{ a_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}\subseteq A\)は可算無限部分集合となる。
故に題意は成り立つ。
このとき選択公理より\(a_{n}\)を\(a_{n}\in A\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}\left\{ a_{k}\right\} \)と選ぶと、\(\left\{ a_{1},a_{2},\cdots\right\} =\left\{ a_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}\subseteq A\)は可算無限部分集合となる。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 無限集合は可算無限部分集合をもつ |
| URL | https://www.nomuramath.com/pyftcwbu/ |
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像と逆像の定義と性質
\[
f\left(A\right):=\left\{ f\left(x\right)\in Y;x\in A\right\}
\]
全域写像と部分写像の定義
\[
\Def\left(f\right)=\left\{ x;\exists y,\left(x,y\right)\in G\right\} =X
\]
定義域・値域・始域・終域の定義と対応の定義域・値域の性質
\[
\dom\left(f\right),\cod\left(f\right),\Def\left(f\right),\ran\left(f\right)
\]
定値写像の定義
\[
\forall x_{1},x_{2}\in X,f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)
\]