順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値

\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)を順序集合として、\(f:X\rightarrow Y\)を写像とする。
\[ \left\{ a\preceq b\rightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\right\} \land\left\{ f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\rightarrow a\preceq b\right\} \Leftrightarrow a\preceq b\leftrightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right) \] となるので、題意は成り立つ。