終域が2つの写像全体の集合
終域が2つの写像全体の集合
集合\(X\)に対し、\(X\)から\(\left\{ 0,1\right\} \)への写像全体の集合を\(\left\{ 0,1\right\} ^{X}\)で表す。
このとき任意の集合\(X\)に対して\(\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\)となる。
集合\(X\)に対し、\(X\)から\(\left\{ 0,1\right\} \)への写像全体の集合を\(\left\{ 0,1\right\} ^{X}\)で表す。
このとき任意の集合\(X\)に対して\(\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\)となる。
任意の\(A\in2^{X}\)に対し写像を指示関数
\[ 1_{A}:X\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ,x\mapsto\begin{cases} 1 & x\in A\\ 0 & x\notin A \end{cases} \] で定める。
このとき写像
\[ f:2^{X}\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ^{X},A\mapsto1_{A} \] は全単射になるので、\(\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\)となる。
\[ 1_{A}:X\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ,x\mapsto\begin{cases} 1 & x\in A\\ 0 & x\notin A \end{cases} \] で定める。
このとき写像
\[ f:2^{X}\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ^{X},A\mapsto1_{A} \] は全単射になるので、\(\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\)となる。
ページ情報
| タイトル | 終域が2つの写像全体の集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/q1zfp3zc/ |
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傍心円の半径
\[
r_{a}=\frac{S}{s-a}
\]
実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
\[
\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x
\]
2重階乗の逆数和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(2k\right)!!}=\sqrt{e}\frac{\Gamma\left(n+1,\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1\right)}
\]
三角関数と双曲線関数のn乗積分
\[
\int\sin^{2n+m_{\pm}}xdx=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\cos x\sin^{2k+1+m_{\pm}}x\right)+\frac{\Gamma\left(1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\int\sin^{m_{\pm}}xdx\right\}
\]