順序対の定義
\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\)となるのは、\(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)となるときのみ、すなわち\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)である。
3つの順序対は\(\left(a,b,c\right)=\left(a,\left(b,c\right)\right)\)や\(\left(a,b,c\right)=\left(\left(a,b\right),c\right)\)とすればいい。
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a,1\right\} ,\left\{ b,2\right\} \right\} \)とする。
クラトフスキーの定義
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)とする。
このとき、\(\left(a,a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)となる。
(1)順序対
2つの対象\(a,b\)を順番も考慮し組にしたものを順序対といい、\(a,b\)の順に指定するなら\(\left(a,b\right)\)と表記する。\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\)となるのは、\(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)となるときのみ、すなわち\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)である。
3つの順序対は\(\left(a,b,c\right)=\left(a,\left(b,c\right)\right)\)や\(\left(a,b,c\right)=\left(\left(a,b\right),c\right)\)とすればいい。
(2)順序対の定義
ハウスドルフの定義\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a,1\right\} ,\left\{ b,2\right\} \right\} \)とする。
クラトフスキーの定義
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)とする。
このとき、\(\left(a,a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)となる。
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像と逆像の定義と性質
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f\left(A\right):=\left\{ f\left(x\right)\in Y;x\in A\right\}
\]
全域写像と部分写像の定義
\[
\Def\left(f\right)=\left\{ x;\exists y,\left(x,y\right)\in G\right\} =X
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定義域・値域・始域・終域の定義と対応の定義域・値域の性質
\[
\dom\left(f\right),\cod\left(f\right),\Def\left(f\right),\ran\left(f\right)
\]
定値写像の定義
\[
\forall x_{1},x_{2}\in X,f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)
\]