位相空間になるためには
\[ \emptyset,X\in\mathcal{O} \] \[ O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} \] \[ \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} \] の3つが成り立てばいいので閉集合系\(\mathcal{F}\)でこれを表せばいい。

(a)

\(\emptyset\in\mathcal{O}\Leftrightarrow X^{c}\in\mathcal{O}\Leftrightarrow X\in\mathcal{F}\)
\(X\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\emptyset^{c}\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\emptyset\in\mathcal{F}\)
故に\(\emptyset,X\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\)\(\emptyset,X\in\mathcal{F}\)となる。

(b)

開集合の補集合は閉集合なので\(O_{k}^{c}=F_{k}\)とおくと、
\begin{align*} O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} & \Leftrightarrow O_{1}^{c},\cdots,O_{n}^{c}\in\mathcal{F}\rightarrow\left(\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\right)^{c}\in\mathcal{O}\\ & \Leftrightarrow F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F} \end{align*} となる。
故に開集合の有限積集合と閉集合の有限和集合は同値となる。

(c)

開集合の補集合は閉集合なので\(O_{k}^{c}=F_{k}\)とおくと、
\begin{align*} \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} & \Leftrightarrow\forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}^{c}\in\mathcal{O}\rightarrow\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}^{c}\right)^{c}\in\mathcal{O}\\ & \Leftrightarrow\forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}\in\mathcal{F} \end{align*} となる。
故に開集合の和集合と閉集合の積集合は同値となる。

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これらより、(a),(b),(c)の3条件を満たせばいい。