距離空間での有界列の定義
距離空間での有界列の定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)で点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられたとき、ある\(M>0\)とある\(a\in X\)があり、任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(x_{n},a\right)\leq M\)が成り立つとき、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界列という。
すなわち、部分集合\(\left\{ x_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)が有界なことである。
距離空間\(\left(X,d\right)\)で点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられたとき、ある\(M>0\)とある\(a\in X\)があり、任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(x_{n},a\right)\leq M\)が成り立つとき、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界列という。
すなわち、部分集合\(\left\{ x_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)が有界なことである。
通常距離で考える。
点列\(\left(\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(\left(-1\right)^{n},0\right)\leq1\)となるので有界列である。
点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(M>0\)、任意の\(a\in\mathbb{R}\)に対し、\(n=M+a+1\)ととれば\(d\left(n,a\right)>M\)となるので有界列ではない。
点列\(\left(\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(\left(-1\right)^{n},0\right)\leq1\)となるので有界列である。
点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(M>0\)、任意の\(a\in\mathbb{R}\)に対し、\(n=M+a+1\)ととれば\(d\left(n,a\right)>M\)となるので有界列ではない。
ページ情報
| タイトル | 距離空間での有界列の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/qqq2acf4/ |
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距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
\[
x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x
\]
点と集合との距離の関係
\[
d\left(x,A\right)=0\Leftrightarrow x\in A^{a}
\]
距離空間では連続と点列連続は同値
濃度2以上の密着位相は距離化不可能
$2\leq\left|X\right|$となる密着位相$\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)$は距離化不可能である。