ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値
ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値
\[ 2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n} \]
\[ H_{n}\left(2,2\right)=4-\delta_{0,n} \]
\(a\uparrow^{n}b\)はクヌースの矢印表記
(1)
\(n\in\left\{ -1,-2\right\} \cup\mathbb{N}_{0}\)とする。\[ 2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n} \]
(2)
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。\[ H_{n}\left(2,2\right)=4-\delta_{0,n} \]
-
\(H_{n}\left(a,b\right)\)はハイパー演算子\(a\uparrow^{n}b\)はクヌースの矢印表記
(1)
\(n=-2\)のとき、
\begin{align*} 2\uparrow^{-2}2 & =2+1\\ & =3 \end{align*}\(n=-1\)のとき、
\begin{align*} 2\uparrow^{-1}2 & =2+2\\ & =4 \end{align*}\(n\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、
\begin{align*} 2\uparrow^{n}2 & =2\uparrow^{n-1}\left(2\uparrow^{n}1\right)\\ & =2\uparrow^{n-1}2\\ & =2\uparrow^{-1}2\\ & =4 \end{align*}-
これより、\[ 2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n} \] となる。
(2)
\(n=0\)のとき、
\begin{align*} H_{0}\left(2,2\right) & =3\\ & =4-\delta_{0,0} \end{align*}\(n=1\)のとき、
\begin{align*} H_{1}\left(2,2\right) & =2+2\\ & =4 \end{align*}\(n=2,3,\cdots\)のとき、
\begin{align*} H_{n}\left(2,2\right) & =2\uparrow^{n-2}2\\ & =4 \end{align*} となる。-
これらより、与式は成り立つ。ページ情報
タイトル | ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値 |
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ハイバー演算子の基本的な値
\[
H_{n}\left(0,a\right)=\begin{cases}
a+1 & n=0\\
a & n=1\\
0 & n=2\\
\delta_{0a} & n=3\\
\delta_{0,\mod\left(a,2\right)} & n=4,5,\cdots
\end{cases}
\]
ハイパー演算子の優先順位
\[
I_{n+1}\left(a,b\right)=I_{n+1}\left(a,b-1\right)^{\left(n\right)}a
\]
ハイバー演算子とクヌースの矢印表記の関係
\[
H_{n}\left(a,b\right)=a\uparrow^{n-2}b\;,\;n\in\mathbb{Z}
\]
アッカーマン関数の定義と解
\[
A\left(m,n\right)=2\uparrow^{m-2}\left(n+3\right)-3
\]