微分と積分の関係
微分と積分の関係
\(ff^{\bullet}\left(a\right)=a\)が成り立つとき、
\[ f\left(x\right)=\int_{f^{\bullet}\left(a\right)}^{x}f'\left(x\right)dx-a \]
\(ff^{\bullet}\left(a\right)=a\)が成り立つとき、
\[ f\left(x\right)=\int_{f^{\bullet}\left(a\right)}^{x}f'\left(x\right)dx-a \]
\begin{align*}
\int_{f^{\bullet}\left(a\right)}^{x}f'\left(x\right)dx & =\left[f\left(x\right)\right]_{x=f^{\bullet}\left(a\right)}^{x=x}\\
& =f(x)-ff^{\bullet}\left(a\right)\\
& =f\left(x\right)-a
\end{align*}
これより、与式は成り立つ。
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タイトル | 微分と積分の関係 |
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微分形接触型積分
\[
\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))
\]
対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]
べき乗を含む0から∞までの定積分
\[
\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt
\]
偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
\[
\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+a^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx
\]