部分積分と繰り返し部分積分
部分積分と繰り返し部分積分
\[ \int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx \]
(1)部分積分
\[ \int f(x)g(x)dx=f^{(-1)}(x)g(x)-\int f^{(-1)}(x)g^{(1)}(x)dx \](2)繰り返し部分積分
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。\[ \int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx \]
(1)
\begin{align*} \int f(x)g(x)dx & =\int\left\{ \left(f^{(-1)}(x)g(x)\right)'-f^{(-1)}(x)g^{(1)}(x)\right\} dx\\ & =f^{(-1)}(x)g(x)-\int f^{(-1)}(x)g^{(1)}(x)dx \end{align*}(2)
\[ \int f^{(-k)}(x)g^{(k)}(x)dx=f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)-\int f^{(-(k+1))}(x)g^{(k+1)}(x)dx \] より、\[ (-1)^{k+1}\int f^{(-(k+1))}(x)g^{(k+1)}(x)dx=(-1)^{k}\int f^{(-k)}(x)g^{(k)}(x)dx+(-1)^{k+1}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x) \] となるので、
\begin{align*} \int f(x)g(x)dx & =\sum_{k=0}^{n-1}\left((-1)^{k}\int f^{(-k)}(x)g^{(k)}(x)dx-(-1)^{k+1}\int f^{(-(k+1))}(x)g^{(k+1)}(x)dx\right)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\left(-(-1)^{k+1}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)\right)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\left((-1)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)\right)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 部分積分と繰り返し部分積分 |
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べき乗を含む0から∞までの定積分
\[
\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt
\]
3角関数の関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx
\]
逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]
偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
\[
\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+a^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx
\]