チェビシェフ多項式の漸化式
チェビシェフ多項式の漸化式
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
(1)
\[ T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x) \](2)
\[ U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x) \](1)
加法定理より、\[ \cos\left((k\pm1)t\right)=\cos\left(kt\right)\cos t\mp\sin\left(kt\right)\sin t \] となるので、
\[ \cos\left((k+1)t\right)=2\cos\left(kt\right)\cos t-\cos\left((k-1)t\right) \] これより、
\[ T_{k+1}(\cos t)=2T_{k}(\cos t)\cos t-T_{k-1}(\cos t) \] となるので、
\[ T_{k+1}(x)=2xT_{k}(x)-T_{k-1}(x) \]
(2)
加法定理より、\[ \sin\left((k\pm1)t\right)=\sin(kt)\cos t\pm\cos(kt)\sin t \] となるので、
\[ \sin\left((k+1)t\right)=2\sin(kt)\cos t-\sin\left((k-1)t\right) \] これより、
\[ U_{k}(\cos t)\sin t=2U_{k-1}(\cos t)\sin t\cos t-U_{k-2}(\cos t)\sin t \] となるので、
\[ U_{k}(x)=2xU_{k-1}(x)-U_{k-2}(x) \]
ページ情報
| タイトル | チェビシェフ多項式の漸化式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/riaa57uv/ |
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(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[
T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}
\]
チェビシェフ多項式の奇遇性
\[
T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x)
\]
チェビシェフ多項式の級数表示
\[
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right)
\]
チェビシェフ多項式の積表示
\[
T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right)
\]